导数的概念与基本运算1．导数的概念设函数y＝f(x)在x0附近有定义，自变量x在点x0有增量△x，函数y＝f(x)相应有增量△y＝f(x0＋△x)－f(x0)，比值xxfxxfxy)()(00是函数y＝f(x)在x0到x0＋△x的平均变化率。如果当0x时，xy有极限，则称函数y＝f(x)在点x0处有导数（又称可导），而这个极限值就叫做函数y＝f(x)在点x0处的导数（或变化率），记作f'(x0)或y'|0xx，即)(xf=xyx0lim＝xxfxxfx)()(lim000。2．导数概念的某些实际背景瞬时速度是导数概念的一个物理背景，切线的斜率是导数概念的一个几何背景。3．求导数的方法导数应用很广泛，经常需要求导，如果都用定义求一遍，不胜其烦，人们就用定义推导出一些常见函数的导函数，并作为公式加以应用。教科书上只介绍了两个求导公式：C'=0，及nx=（n为正整数）；两个法则：[f(x)±g(x)]'=f(x)±g(x)，[Cf（x）]'=Cf(x)。根据定义不难证明上述两个法则：[f(x)±g(x)]'===±=fxgx；Cfx0limxC=Cfx。有了这些工具，我们就能求出一切多项式函数的导数了。用心爱心专心1另外， =≈，∴当△x很小时，可把它作为一个简单易记的近似计算公式。（1）几种常用函数的导数公式如下：C′=0（C为常数）；(xm)′=mxm-1(m∈Q)；(sinx)′=cosx；(cosx)′=-sinx；(ex)′=ex；(ax)′=axlna(lnx)′=x1；(logax)′=x1logae（2）两个函数四则运算的导数(u+v)′=u′+v′；(uv)′=vuvu；)0()(2vvvuvuvu。注意事项1．在导数的定义中，应注意：⑴当△x→0时，xy有极限是函数y＝f(x)在点x0处有导数的前提，不可忽视。⑵函数y＝f(x)在点x0处的导数，是借助于函数的极限来定义的，这时△x是自变量，x0是事先固定好的，是常量，而xxfxxfxy)()(00是△x的函数，导数f'(x0)就是自变量△x无限趋近于0时，函数xy的极限。（3）要注意函数的变化（增量），变化率（增量之比），局部变化率（求增量比的极限）的区别。2．导数的另一个定义式令x＝x0＋△x，得△x＝x－x0，于是f'(x0)＝00)()(lim0xxxfxfxx，它与f'(x0)＝xxfxxfx)()(lim000是一个意思。3．导数的几何意义函数y＝f(x)在点x0处的导数f'(x0)的几何意义就是曲线y＝f(x)在点M(x0，f(x0))处的切线的斜率。4．导函数与在一点处的导数的区别与联系在点x处求得的函数f'(x)是随着点x而变的，所以f'(x)又可以看成x的一个新的函数，称为原来的函数y＝f(x)的导函数，简称导数。函数f(x)的导数仍然是一个函数，而函数f(x)在定点x0的导数则是一个常数。f(x)在点x0处的导数就是导函数f'(x)在点x0处的函数值。导函数简称导数，如不特别指明求某一点处的导数，求导数就是指求导函数。5．函数的可导性与连续性的关系函数y＝f(x)在点x0处可导，则函数在该点必连续，但反之未必。即函数在某点连续是函数在该点可导的必要条件，但不是充分条件。因此若函数f(x)在点x0处不连续，则f(x)在点x0处必不可导。典型例题讲评例1．n∈N*，求函数y=x—n（x≠0）的导函数用心爱心专心2分析：我们现在除了两个基本公式和两个法则之外，只有定义可用，本题应用导数定义无疑。解：y'====－=－=－.说明：这与n为正整数时(xn)'=法则相合（即以－n代n，即得上式），这会使我们猜测α∈R时，=α，这个猜测正确与否还需进一步证明，且证明方法肯定与上面的方程不同（不能再用二项式定理了）.例2．求证：若函数f(x)在点x0处可导，则f(x)在点x0处连续。分析：运用可导和连续的概念。解：设x=x0+△x，当0xx时，0x。 函数f(x)在点x0处可导，∴)(xf＝xxfxxfx)()(lim000，∴)()()(lim)(lim)(lim0000000xfxfxxfxxfxfxxx=)]()()([lim0000xfxxxfxxfx=)(lim)()(lim00000xfxxxfxxfxx=)(0)(00xfxf=f（x0）。∴)()(lim00xfxfxx，即f(x)在点x0处连续。例3．物体在地球上作自由落体运动时，下落距离S=12gt2其中t为经历的时间，g=9.8m/s2，用心爱心专心3若V==g=9.8m/s，则下列说法正确的是（）（A）0～1...
