10．2复数的运算10．2.1复数的加法与减法[课程目标]1.能利用复数的代数形式进行加法、减法运算；2.了解复数代数形式的加、减运算的几何意义．知识点一复数的加法[填一填](1)复数的加法法则设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，称z1＋z2为z1与z2的和，并规定z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i.(2)复数加法的交换律与结合律：对任意复数z1，z2，z3，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．[答一答]1．怎样应用复数的加法法则进行运算？提示：(1)复数加法法则规定：实部与实部相加，虚部与虚部相加．很明显，两个复数的和仍然是一个复数．复数的加法可以推广到多个复数相加的情形．(2)在这个规定中，当b＝d＝0时，与实数的加法法则一致．知识点二复数加法的几何意义[填一填]如果复数z1，z2所对应的向量分别为OZ1与OZ2，则当OZ1与OZ2不共线时，以OZ1和OZ2为两条邻边作平行四边形OZ1ZZ2，则z1＋z2所对应的向量就是OZ，如图所示．由复数加法的几何意义可以得出||z1|－|z2||≤|z1＋z2|≤|z1|＋|z2|.知识点三复数的减法[填一填](1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)的相反数记作－z，并规定－z＝－(a＋bi)＝－a－bi.复数z1减去z2的差记作z1－z2，并规定z1－z2＝z1＋(－z2)．(2)如果z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i.[答一答]2．怎样应用复数的减法法则进行运算？提示：(1)两个复数相减，就是把实部与实部、虚部与虚部分别相减．(2)两个复数的差仍是复数．(3)复数的减法运算法则可以推广到多个复数相减的情形，即若z1＝a1＋b1i，z2＝a2＋b2i，z3＝a3＋b3i，…，zn＝an＋bni，则z1－z2－…－zn＝(a1－a2－…－an)＋(b1－b2－…－bn)i(ai，bi∈R，i＝1,2,3，…，n)．知识点四复数减法的几何意义[填一填]如果复数z1，z2所对应的向量分别为OZ1与OZ2，设点Z满足OZ＝Z2Z1，则z1－z2所对应的向量就是OZ，如图所示．由复数减法的几何意义可以得出||z1|－|z2||≤|z1－z2|≤|z1|＋|z2|.1．复数的加减运算．(1)若有括号，括号优先；若无括号，可从左到右依次进行；(2)算式中出现字母时，首先确定其是否为实数，再提取各复数的实部与虚部，将它们分别相加减．2．复平面内两点间距离公式的复数表示．复平面内两点间的距离公式d＝|z1－z2|.其中z1、z2是复平面内的两点Z1、Z2所对应的复数，d表示Z1和Z2之间的距离．类型一复数的加减运算[例1]计算：(1)(1＋2i)＋(3－4i)－(5＋6i)；(2)5i－[(3＋4i)－(－1＋3i)]；(3)(a＋bi)－(2a－3bi)－3i(a，b∈R)．[分析]利用复数加减运算的法则计算．[解](1)(1＋2i)＋(3－4i)－(5＋6i)＝(4－2i)－(5＋6i)＝－1－8i.(2)5i－[(3＋4i)－(－1＋3i)]＝5i－(4＋i)＝－4＋4i.(3)(a＋bi)－(2a－3bi)－3i＝(a－2a)＋[b－(－3b)－3]i＝－a＋(4b－3)i(a，b∈R)．[变式训练1](1)已知i是虚数单位，复数z＝(4＋i)＋(－3－2i)的虚部是(C)A．1B.C．－1D．－i解析：z＝(4＋i)＋(－3－2i)＝(4－3)＋(1－2)i＝1－i.故复数z的虚部为－1.(2)已知复数z1＝7－6i，z2＝4－7i，则z1－z2＝(A)A．3＋iB．3－iC．11－13iD．3－13i解析：z1－z2＝(7－6i)－(4－7i)＝(7－4)＋[－6－(－7)]i＝3＋i.类型二复数加减运算的几何意义[例2]如图所示，已知平行四边形OABC，顶点O，A，C分别表示0,3＋2i，－2＋4i，试求：(1)AO所表示的复数，BC所表示的复数；(2)对角线CA所表示的复数；(3)对角线OB所表示的复数及OB的长度．[分析]要求某个向量所对应的复数，只要找出所求向量的始点和终点，或者用向量相等直接给出所求的结论．[解](1) AO＝－OA，∴AO所表示的复数为－3－2i. BC＝AO，∴BC所表示的复数为－3－2i.(2) CA＝OA－OC，∴CA所表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.(3) 对角线OB＝OA＋OC，∴它所对应的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i，∴|OB|＝＝.1.正确理解复数与向量的一一对应关系，可将复数问题转化为向量问题.2.求复数，可先求对应的向量，利用数形结合思想得出数量关系.[变式训练2]已知平行四边形的三个顶点分别对应复数2i,4－4i,2＋6i.求第四个顶点对应的复数．解：如图，设这个平行四边形已知的三个顶点分别为Z1，Z2，Z3，...
