2．圆的参数方程圆的参数方程(1)在t时刻，圆周上某点M转过的角度是θ，点M的坐标是(x，y)，那么θ＝ωt(ω为角速度)．设|OM|＝r，那么由三角函数定义，有cosωt＝，sinωt＝，即圆心在原点O，半径为r的圆的参数方程为(t为参数)．其中参数t的物理意义是：质点做匀速圆周运动的时刻．(2)若取θ为参数，因为θ＝ωt，于是圆心在原点O，半径为r的圆的参数方程为(θ为参数)．其中参数θ的几何意义是：OM0(M0为t＝0时的位置)绕点O逆时针旋转到OM的位置时，OM0转过的角度．(3)若圆心在点M0(x0，y0)，半径为R，则圆的参数方程为(0≤θ＜2π)．求圆的参数方程[例1]根据下列要求，分别写出圆心在原点，半径为r的圆的参数方程．(1)在y轴左侧的半圆(不包括y轴上的点)；(2)在第四象限的圆弧．[解](1)由题意，圆心在原点，半径为r的圆的参数方程为(θ∈[0,2π))，在y轴左侧半圆上点的横坐标小于零，即x＝rcosθ<0，所以有<θ<，故其参数方程为.(2)由题意，得解得<θ<2π.故在第四象限的圆弧的参数方程为.(1)确定圆的参数方程，必须仔细阅读题目所给条件，否则，就会出现错误，如本题易忽视θ的范围而致误．(2)由于选取的参数不同，圆有不同的参数方程．1．已知圆的方程为x2＋y2＝2x，写出它的参数方程．解：x2＋y2＝2x的标准方程为(x－1)2＋y2＝1，设x－1＝cosθ，y＝sinθ，则参数方程为(0≤θ＜2π)．2．已知点P(2,0)，点Q是圆上一动点，求PQ中点的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．解：设中点M(x，y)．则即(θ为参数)这就是所求的轨迹方程．它是以(1,0)为圆心，为半径的圆.圆的参数方程的应用[例2]若x，y满足(x－1)2＋(y＋2)2＝4，求2x＋y的最值．[思路点拨](x－1)2＋(y＋2)2＝4表示圆，可考虑利用圆的参数方程将求2x＋y的最值转化为求三角函数最值问题．[解]令x－1＝2cosθ，y＋2＝2sinθ，则有x＝2cosθ＋1，y＝2sinθ－2，故2x＋y＝4cosθ＋2＋2sinθ－2＝4cosθ＋2sinθ＝2sin(θ＋φ)，∴－2≤2x＋y≤2，即2x＋y的最大值为2，最小值为－2.圆的参数方程突出了工具性作用，应用时，把圆上的点的坐标设为参数方程形式，将问题转化为三角函数问题，利用三角函数知识解决问题．3．已知圆C与直线x＋y＋a＝0有公共点，求实数a的取值范围．解：将圆C的方程代入直线方程，得cosθ－1＋sinθ＋a＝0，即a＝1－(sinθ＋cosθ)＝1－sin. －1≤sin≤1，∴1－≤a≤1＋.故实数a的取值范围为[1－，1＋]．一、选择题1．已知圆的参数方程为(θ为参数)，则圆的圆心坐标为()A．(0,2)B．(0，－2)C．(－2,0)D．(2,0)解析：选D将化为(x－2)2＋y2＝4，其圆心坐标为(2,0)．2．已知圆的参数方程为(θ为参数)，则圆心到直线y＝x＋3的距离为()A．1B.C．2D．2解析：选B圆的参数方程(θ为参数)化成普通方程为(x＋1)2＋y2＝2，圆心(－1,0)到直线y＝x＋3的距离d＝＝，故选B.3．若直线y＝ax＋b经过第二、三、四象限，则圆(θ为参数)的圆心在()A．第四象限B．第三象限C．第二象限D．第一象限解析：选B根据题意，若直线y＝ax＋b经过第二、三、四象限，则有a<0，b<0.圆的参数方程为(θ为参数)，圆心坐标为(a，b)，又由a<0，b<0，得该圆的圆心在第三象限，故选B.4．P(x，y)是曲线(α为参数)上任意一点，则(x－5)2＋(y＋4)2的最大值为()A．36B．6C．26D．25解析：选A设P(2＋cosα，sinα)，代入得，(2＋cosα－5)2＋(sinα＋4)2＝25＋sin2α＋cos2α－6cosα＋8sinα＝26＋10sin(α－φ)，所以其最大值为36.二、填空题5．x＝1与圆x2＋y2＝4的交点坐标是________．解析：圆x2＋y2＝4的参数方程为(θ为参数)令2cosθ＝1，得cosθ＝，∴sinθ＝±.∴交点坐标为(1，)和(1，－)．答案：(1，)，(1，－)6．曲线(θ为参数)与直线x＋y－1＝0相交于A，B两点，则|AB|＝________.解析：根据题意，曲线(θ为参数)的普通方程为x2＋(y－1)2＝1，表示圆心坐标为(0,1)，半径r＝1的圆，而直线的方程为x＋y－1＝0，易知圆心在直线上，则AB为圆的直径，故|AB|＝2r＝2.答案：27．在平面直角坐标系中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l的极坐标方程为ρsin＝1，圆C的参数方程为(θ为参数)，则直线l与圆C相交所得的弦长为__...
