高中数学 第二章 平面向量 第3节 平面向量的基本定理及坐标表示（第1课时）平面向量基本定理教案（含解析）新人教A版必修4-新人教A版高一必修4数学教案VIP专享VIP免费

第1课时平面向量基本定理[核心必知]1．预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P93～P94的内容，回答下列问题．(1)观察教材P93图2.3－2的作图过程，思考：如果e1，e2是两个不共线的确定向量，那么与e1，e2在同一平面内的任意向量a能否用e1，e2表示？根据是什么？提示：可以．根据是数乘向量和平行四边形法则．(2)平面内的任意两个向量都可以平移至公共起点，它们存在夹角吗？提示：存在．(3)两个非零向量夹角θ的取值范围是什么？当非零向量a与b共线时，它们的夹角是多少？提示：两个非零向量夹角θ的范围是0°≤θ≤180°.当非零向量a与b共线时，它们的夹角是0°或180°.2．归纳总结，核心必记(1)平面向量基本定理条件e1、e2是同一平面内的两个不共线向量结论这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2基底不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底(2)向量的夹角条件两个非零向量a和b产生过程作向量＝a，＝b，则∠AOB＝θ叫做向量a与b的夹角范围[0，π]特殊情况θ＝0°a与b同向θ＝90°a与b垂直，记作a⊥bθ＝180°a与b反向[问题思考](1)0能与另外一个向量a构成基底吗？提示：不能．基向量是不共线的，而0与任意向量是共线的．(2)平面向量的基底是唯一的吗？提示：不是．平面内任何不共线的两个向量都可以作为基底，基底一旦确定，平面内任何一向量都可以用这一基底唯一表示．(3)如果e1，e2是共线向量，那么向量a能否用e1，e2表示？为什么？提示：不一定，当a与e1共线时可以表示，否则不能表示．[课前反思](1)平面向量基本定理：；(2)基底：；(3)基向量：；(4)向量的夹角：.知识点1对基底向量概念的理解讲一讲1．(1)如果e1，e2是平面α内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是()①a＝λe1＋μe2(λ，μ∈R)可以表示平面α内的所有向量；②对于平面α内任一向量a，使a＝λe1＋μe2的实数对(λ，μ)有无穷多个；③若向量λ1e1＋μ1e2与λ2e1＋μ2e2共线，则＝；④若存在实数λ，μ，使得λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0.A．①②B．②③C．③④D．①④(2)设e1，e2是平面内的一组基底，则下面四组向量不能作为基底的是()A．e1＋e2和e1－e2B．3e1－2e2和4e2－6e1C．e1＋2e2和e2＋2e1D．e2和e2＋e1[尝试解答](1)由平面向量的基本定理可知，①④是正确的．对于②，由平面向量的基本定理可知，若平面的基底确定，那么同一平面内任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的．对于③，当λ1＝λ2＝0或μ1＝μ2＝0时，结论不成立．故选B.(2) 4e2－6e1＝－2(3e1－2e2)，∴3e1－2e2和4e2－6e1共线，不能作为平面向量的一组基底．答案：(1)B(2)B类题·通法用基底表示向量的方法将两个不共线的向量作为基底表示其他向量，基本方法有两种：一种是运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行转化，直至能用基底表示为止；另一种是通过列向量方程或方程组的形式，利用基底表示向量的唯一性求解．练一练1．如果e1，e2是平面α内的一组基底，那么下列命题中正确的是()A．若实数λ1，λ2使λ1e1＋λ2e2＝0，则λ1＝λ2＝0B．空间内任一向量a都可以表示为a＝λ1e1＋λ2e2，其中λ1，λ2∈RC．λ1e1＋λ2e2不一定在平面α内，λ1，λ2∈RD．对于平面α内任一向量a，使a＝λ1e1＋λ2e2的实数λ1，λ2有无数对解析：选AA是正确的，B是错误的，这样的a只能是与e1，e2在同一个平面内的向量，不能是空间中的任一向量，C是错误的，在平面α内任一向量都可以表示为λ1e1＋λ2e2的形式，故λ1e1＋λ2e2一定在平面α内，D是错误的，这样的λ1，λ2是唯一的，而不是有无数对，综上所述，只有A是正确的.知识点2向量的夹角问题讲一讲2．已知|a|＝|b|＝2，且a与b的夹角为60°，则a＋b与a的夹角是多少？a－b与a的夹角又是多少？[尝试解答]如图所示，作＝a，＝b，且∠AOB＝60°.以，为邻边作平行四边形OACB，则＝a＋b，＝a－b.因为|a|＝|b|＝2，所以平行四边形OACB是菱形，又∠AOB＝60°，所以与的夹角为30°，与的夹角为60°.即a＋b与a的夹角是30°，a－b与a的夹角是60°.类题·通法两个向量夹角的实质及求解的关键(1)实质：两个向量的夹角，实质上是从同一起点出发的...