5．1.1&5.1.2合情推理(一)——归纳合情推理(二)——类比[读教材·填要点]1．合情推理的含义及方法“合乎情理”的推理，最常见的有归纳和类比．(1)归纳由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法叫作归纳．(2)类比根据两个不同的对象在某方面的相似之处，推测出这两个对象在其它方面也有可能有相似之处的推理方法，叫作类比．2．合情推理的过程[小问题·大思维]1．归纳推理和类比推理的结论一定正确吗？提示：归纳推理的结论超出了前提所界定的范围，其前提和结论之间的联系不是必然性的，而是或然性的，结论不一定正确．类比推理是从人们已经掌握了的事物的特征，推测正在被研究中的事物的特征，所以类比推理的结果具有猜测性，不一定可靠．2．你认为下列说法正确的有哪些？①由合情推理得出的结论一定是正确的；②合情推理必须有前提有结论；③合情推理不能猜想；④合情推理得出的结论不能判断正误．提示：由合情推理的定义及推理过程可知，合情推理必须有前提有结论，但结论不一定正确，故只有②正确．数列中的归纳推理已知数列{an}的每一项均为正数，a1＝1，a＝a＋1(n＝1,2,3，…)，试归纳出数列{an}的一个通项公式．[自主解答]当n＝1时，a1＝1；当n＝2时，a2＝＝；当n＝3时，a3＝＝.由此猜想{an}的一个通项公式为an＝(n∈N＋)．若将“a＝a＋1”改换为“an＋1＝”，试猜想{an}的一个通项公式．解：当n＝1时，a1＝1，由an＋1＝(n∈N＋)，得a2＝，a3＝＝，a4＝＝＝.由此猜想{an}的一个通项公式为an＝(n∈N＋)．归纳推理的一般步骤归纳推理的思维过程大致是：实验、观察→概括、推广→猜测一般性结论．该过程包括两个步骤：(1)通过观察个别对象发现某些相同性质；(2)从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想)．1．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝－，且Sn＋＋2＝an(n≥2)，计算S1，S2，S3，S4，并猜想Sn的表达式．解：当n＝1时，S1＝a1＝－；当n＝2时，＝－2－S1＝－，所以S2＝－；当n＝3时，＝－2－S2＝－，所以S3＝－；当n＝4时，＝－2－S3＝－，所以S4＝－.猜想：Sn＝－，n∈N＋.几何中的归纳推理如图，在圆内画一条线段，将圆分成两部分；画两条线段，彼此最多分割成4条线段，同时将圆分割成4部分；画三条线段，彼此最多分割成9条线段，将圆最多分割成7部分；画四条线段，彼此最多分割成16条线段，将圆最多分割成11部分．那么：(1)在圆内画5条线段，它们彼此最多分割成多少条线段？将圆最多分割成多少部分？(2)猜想：圆内两两相交的n(n≥2)条线段，彼此最多分割成多少条线段？将圆最多分割成多少部分？[自主解答]将圆内两两相交的n条线段，彼此最多分割成的线段为f(n)条，将圆最多分割为g(n)部分．(1)f(1)＝1＝12，g(1)＝2＝；f(2)＝4＝22，g(2)＝4＝；f(3)＝9＝32，g(3)＝7＝；f(4)＝16＝42，g(4)＝11＝；所以n＝5时，f(5)＝25，g(5)＝16＝.(2)根据题意猜测：圆内两两相交的n(n≥2)条线段，彼此最多分割为f(n)＝n2条线段，将圆最多分割为g(n)＝部分．解决图形中归纳推理的方法解决与图形有关的归纳推理问题常从以下两个方面着手：(1)从图形的数量规律入手，找到数值变化与数量的关系．(2)从图形的结构变化规律入手，找到图形的结构每发生一次变化后，与上一次比较，数值发生了怎样的变化．2．有两种花色的正六边形地面砖，按下图的规律拼成若干个图案，则第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是()A．26B．31C．32D．36解析：有菱形纹的正六边形个数如下表：图案123…个数61116…由表可以看出有菱形纹的正六边形的个数依次组成一个以6为首项，以5为公差的等差数列，所以第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是6＋5×(6－1)＝31.故选B.答案：B类比推理(1)若数列{an}(n∈N*)是等差数列，则有数列{bn}：bn＝(n∈N*)也是等差数列．类比上述性质，相应地，若数列{cn}(n∈N*)是等比数列，且cn>0，则有数列{dn}：dn＝________(n∈N*)也是等比数列．(2)如图所示，在△ABC中，射影定理可表示为a＝b·cosC＋c·cosB，其中a，b，c分别为角A，B，C的对边，类比上述定理，写出对空间四面体性质的猜想．[自主解答](1)由等差数列与等比数列在运算上的相似性猜想：dn＝.答...
