高中数学 第10章 复数 10.3 复数的三角形式及其运算教案 新人教B版必修第四册-新人教B版高一第四册数学教案VIP免费

*10.3复数的三角形式及其运算学习目标核心素养1.通过复数的几何意义，了解复数的三角形式，了解复数的代数表示与三角表示之间的关系.2.了解复数乘、除运算的三角表示及其几何意义.1.借助复数的三角形式，培养数学抽象的核心素养.2.通过复数三角形式的运算，培养数学运算的核心素养.前面已经学习过了复数的两种表示．一是代数表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)；二是几何表示，复数z既可以用复平面上的点Z(a，b)表示，也可以用复平面上的向量OZ来表示．现在需要学习复数的三角表示，即用复数z的模和辐角来表示复数．思考：复数的三角形式在复数的运算中有怎样的作用？1．复数的三角表示式及复数的辐角和辐角主值一般地，如果非零复数z＝a＋bi(a，b∈R)在复平面内对应点Z(a，b)，且r为向量OZ的模，θ是以x轴正半轴为始边、射线OZ为终边的一个角，则r＝|z|＝，根据任意角余弦、正弦的定义可知cosθ＝，sinθ＝.因此a＝rcosθ，b＝rsinθ，如图所示，从而z＝a＋bi＝(rcosθ)＋(rsinθ)i＝r(cosθ＋isinθ)，上式的右边称为非零复数z＝a＋bi的三角形式(对应地，a＋bi称为复数的代数形式)，其中的θ称为z的辐角．显然，任何一个非零复数z的辐角都有无穷多个，而且任意两个辐角之间都相差2π的整数倍．特别地，在[0,2π)内的辐角称为z的辐角主值，记作argz.2．复数三角形式的乘、除运算若复数z1＝r1(cosθ1＋isinθ1)，z2＝r2(cosθ2＋isinθ2)，且z1≠z2，则(1)z1z2＝r1(cosθ1＋isinθ1)×r2(cosθ2＋isinθ2)＝r1r2[cos(θ1＋θ2)＋isin(θ1＋θ2)]．(2)＝＝[cos(θ1－θ2)＋isin(θ1－θ2)]．(3)[r(cosθ＋isinθ)]n＝rn[cos(nθ)＋isin(nθ)].1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)复数的辐角是唯一的．()(2)z＝cosθ－isinθ是复数的三角形式．()(3)z＝－2(cosθ＋isinθ)是复数的三角形式．()(4)复数z＝cosπ＋isinπ的模是1，辐角的主值是π.()[答案](1)×(2)×(3)×(4)√2．复数z＝1＋i的三角形式为z＝________.[r＝，cosθ＝＝，又因为1＋i对应的点位于第一象限，所以arg(1＋i)＝.所以z＝.]3．复数6的代数形式为________．6i[6＝6cos＋6isin＝6i.]4．计算：(1)6×4＝________；(2)6÷4＝________.(1)24i(2)＋i[(1)6×4＝24＝24i.(2)6÷4＝＝＝＋i.]复数的代数形式与三角形式的互化角度1代数形式化为三角形式【例1】把下列复数的代数形式化成三角形式：(1)＋i；(2)－i.[解](1)r＝＝2，因为＋i对应的点在第一象限，所以cosθ＝，即θ＝，所以＋i＝2.(2)r＝＝2，cosθ＝，又因为－i对应的点位于第四象限，所以θ＝.所以－i＝2.复数的代数形式化为三角形式的步骤(1)先求复数的模．(2)决定辐角所在的象限．(3)根据象限求出辐角．(4)求出复数的三角形式．提醒：一般在复数三角形式中的辐角，常取它的主值，这使表达式简便，又便于运算，但三角形式辐角不一定取主值．角度2三角形式化为代数形式【例2】分别指出下列复数的模和辐角主值，并把这些复数表示成代数形式．(1)4；(2)(cos60°＋isin60°)；(3)2.[解](1)复数4的模r＝4，辐角主值为θ＝.4＝4cos＋4isin＝4×＋4×i＝2＋2i.(2)(cos60°＋isin60°)的模r＝，辐角主值为θ＝60°.(cos60°＋isin60°)＝×＋×i＝＋i.(3)2＝2＝2.所以复数的模r＝2，辐角主值为π.2＝2cosπ＋2isinπ＝2×＋2×i.＝1－i.复数的三角形式z＝rcosθ＋isinθ必须满足“模非负、余正弦、＋相连、角统一、i跟sin”，否则就不是三角形式，只有化为三角形式才能确定其模和辐角，如本例3.[跟进训练]1．下列复数是不是复数的三角形式？如果不是，把它们表示成三角形式．(1)；(2)－；(3)；(4)cos＋isin.[解]根据复数三角形式的定义可知，(1)、(2)、(3)不是，(4)是复数的三角形式．(1)原式＝.(2)原式＝＝.(3)原式＝＝.复数三角形式的乘、除运算【例3】计算：(1)8×4；(2)(cos225°＋isin225°)÷[(cos150°＋isin150°)]；(3)4÷.[解](1)8×4＝32＝32＝32＝32＝16＋16i.(2)(cos225°＋isin225°)÷[(cos150°＋isin150°)]＝[cos(225°－150°)＋isin(225°－150°)]＝(cos75°＋isin75°)＝＝＋i＝＋i.(3)4÷＝4(cos0＋isin0)÷＝4＝2－2i.1．乘法法则...