第1章数列等差、等比数列的判定【例1】已知数列{an}的前n项和Sn＝1＋λan，其中λ≠0.(1)证明{an}是等比数列，并求其通项公式；(2)若S5＝，求λ.[解](1)由题意得a1＝S1＝1＋λa1，故λ≠1，a1＝，a1≠0.由Sn＝1＋λan，Sn＋1＝1＋λan＋1得an＋1＝λan＋1－λan，即an＋1(λ－1)＝λan.由a1≠0，λ≠0且λ≠1得an≠0，所以＝.因此{an}是首项为，公比为的等比数列，于是an＝n－1.(2)由(1)得Sn＝1－n.由S5＝得1－5＝，即5＝.解得λ＝－1.判定一个数列是等差或等比数列的方法定义法an＋1－an＝d(常数)⇔{an}是等差数列＝q(非零常数)⇔{an}是等比数列中项公2an＋1＝an＋an＋2(n∈N＋)⇔{an}是等差数列a＝anan＋2(an＋1anan＋2≠0)⇔{an}是等比数列1式法通项公式法an＝pn＋q(p，q为常数)⇔{an}是等差数列an＝cqn(c，q均为非零常数)⇔{an}是等比数列前n项和公式Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)⇔{an}是等差数列Sn＝kqn－k(k为常数，且q≠0，k≠0，q≠1)⇔{an}是等比数列[提醒]在解答题中证明一个数列是等比(或等差)数列通常用定义法和中项公式法，通项公式法和前n项和公式法常在小题或分析题意时应用．1．设Sn为数列{an}的前n项和，对任意的n∈N*，都有Sn＝2－an，数列{bn}满足b1＝2a1，bn＝(n≥2，n∈N*)．(1)求证：数列{an}是等比数列，并求{an}的通项公式；(2)判断数列是等差数列还是等比数列，并求数列{bn}的通项公式．[解](1)当n＝1时，a1＝S1＝2－a1，解得a1＝1；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝an－1－an，即＝(n≥2，n∈N*)．所以数列{an}是首项为1，公比为的等比数列，故数列{an}的通项公式为an＝n－1.(2)因为a1＝1，所以b1＝2a1＝2.因为bn＝，所以＝＋1，即－＝1(n≥2)．所以数列是首项为，公差为1的等差数列．所以＝＋(n－1)·1＝，故数列{bn}的通项公式为bn＝.数列通项公式的求法【例2】(1)若数列{an}是正项数列，且＋＋…＋＝n2＋3n(n∈N*)，则an＝________.(2)已知在数列{an}中，an＋1＝an(n∈N＋)，且a1＝4，则数列{an}的通项公式an＝________.(1)4(n＋1)2(2)[(1)因为＋＋…＋＝n2＋3n(n∈N*)，①所以＋＋…＋＝(n－1)2＋3(n－1)(n≥2)，②①－②，得＝n2＋3n－[(n－1)2＋3(n－1)]＝2(n＋1)，所以an＝4(n＋1)2(n≥2)．又＝12＋3×1＝4，故a1＝16，也满足式子an＝4(n＋1)2，故an＝4(n＋1)2.(2)由an＋1＝an，得＝，故＝，＝，…，＝(n≥2)，以上式子累乘得，＝··…···＝，因为a1＝4，所以an＝(n≥2)，因为a1＝4满足上式，所以an＝.]2数列通项公式的求法(1)定义法，即直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法，这种方法适用于已知数列类型的题目．(2)已知Sn求an.若已知数列的前n项和Sn与an的关系，求数列{an}的通项an可用公式an＝求解．(3)由递推式求数列通项法．对于递推公式确定的数列的求解，通常可以通过递推公式的变换，转化为等差数列或等比数列问题，有时也用到一些特殊的转化方法与特殊数列．(4)待定系数法(构造法)．求数列通项公式方法灵活多样，特别是对于给定的递推关系求通项公式，观察、分析、推理能力要求较高．通常可对递推式变换，转化成特殊数列(等差或等比数列)来求解，这种方法体现了数学中化未知为已知的化归思想，而运用待定系数法变换递推式中的常数就是一种重要的转化方法．2．(1)已知数列{an}满足a1＝2，an－an－1＝n(n≥2，n∈N＋)，则an＝________.(2)已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝a(an＞0，n∈N＋)，则an＝________.(1)(n2＋n＋2)(2)22n－1[(1)由题意可知，a2－a1＝2，a3－a2＝3，…，an－an－1＝n(n≥2)，以上式子累加得，an－a1＝2＋3＋…＋n.因为a1＝2，所以an＝2＋(2＋3＋…＋n)＝2＋＝(n≥2)．因为a1＝2满足上式，所以an＝.(2)因为数列{an}满足a1＝2，an＋1＝a(an＞0，n∈N＋)，所以log2an＋1＝2log2an，即＝2，又a1＝2，所以log2a1＝1，故数列{log2an}是首项为1，公比为2的等比数列，所以log2an＝2n－1，即an＝22n－1.]数列求和的常用方法【例3】Sn为等差数列{an}的前n项和，且a1＝1，S7＝28.记bn＝[lgan]，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]＝0，[lg99]＝1.(1)求b1，b11，b101；(2)求数列{bn}的前1000项和．[解](1)设{an}的...
