高中数学 第1章 数列 2.2 等差数列的前n项和教案 北师大版必修5-北师大版高二必修5数学教案VIP免费

2.2等差数列的前n项和学习目标核心素养1.理解并掌握等差数列的前n项和公式及其推导过程，体会等差数列的前n项和公式与二次函数的关系．(重点、难点)2．熟练掌握等差数列的五个基本量a1，d，n，an，Sn之间的联系，能够由其中的任意三个求出其余的两个．(重点)3．能够应用等差数列的前n项和公式解决有关等差数列的实际问题．(易混点)1.通过等差数列前n项和公式的推导过程培养逻辑推理素养．2．通过等差数列的前n项和公式的应用提升数学运算素养.等差数列的前n项和公式阅读教材P15～P16“例7”以上部分，完成下列问题：(1)等差数列的前n项和公式已知量首项、末项与项数首项、公差与项数求和公式Sn＝Sn＝na1＋d(2)等差数列前n项和公式的推导对于公差为d的等差数列，Sn＝a1＋(a1＋d)＋(a1＋2d)＋…＋[a1＋(n－1)d]，①Sn＝an＋(an－d)＋(an－2d)＋…＋[an－(n－1)d]，②由①＋②得2Sn＝(a1＋an)＋(a1＋an)＋…＋(a1＋an)n个＝n(a1＋an)，由此得等差数列前n项和公式Sn＝，代入通项公式an＝a1＋(n－1)d得Sn＝na1＋d.(3)等差数列的前n项和公式与二次函数的关系将等差数列前n项和公式Sn＝na1＋d整理成关于n的函数可得Sn＝n2＋n.思考：(1)等差数列的前n项和一定是n的二次函数吗？[提示]不一定，当公差d≠0时，前n项和是n的二次函数，当公差d＝0时，前n项和是n的一次函数，它们的常数项都为0.(2)求等差数列的前n项和时，如何根据已知条件选择等差数列的前n项和公式？[提示]求等差数列的前n项和时，若已知首项、末项和项数，则选用第一个公式；若已知首项、公差和项数，则选用第二个公式．1．已知等差数列{an}的首项a1＝1，公差d＝－2，则前n项和S10＝()A．－20B．－401C．－60D．－80D[由公式Sn＝na1＋×d得S10＝10×1＋×(－2)＝－80.]2．Sn＝1＋2＋3＋…＋n＝________.[由题知等差数列的首项a1＝1，末项an＝n.由前n项和公式得Sn＝.]3．已知等差数列{an}中，a1＝2，a17＝8，则S17＝________.85[S17＝×17×(2＋8)＝85.]4．已知等差数列{an}中，a1＝1，S8＝64，则d＝________.2[S8＝8×1＋×8×7×d＝64，解得d＝2.]与Sn有关的基本量的运算【例1】在等差数列{an}中，(1)已知a3＝16，S20＝20.求S10；(2)已知a1＝，d＝－，Sn＝－15，求n及a12；(3)已知a1＋a2＋a3＋a4＝40，an－3＋an－2＋an－1＋an＝80，Sn＝210，求项数n.[解](1)设等差数列{an}的公差为d，则有，解得所以S10＝10×20＋＝200－90＝110.(2)因为Sn＝n·＋·＝－15，整理得n2－7n－60＝0，解得n＝12或n＝－5(舍去)，所以a12＝＋(12－1)×＝－4.(3)因为a1＋a2＋a3＋a4＝40，an－3＋an－2＋an－1＋an＝80，所以4(a1＋an)＝40＋80，即a1＋an＝30.又因为Sn＝＝210，所以n＝＝14.等差数列中基本量计算的两个技巧(1)利用基本量求值．等差数列的通项公式和前n项和公式中有五个量a1，d，n，an和Sn，一般是利用公式列出基本量a1和d的方程组，解出a1和d，便可解决问题．解题时注意整体代换的思想．(2)利用等差数列的性质解题．等差数列的常用性质：若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N＋)，则am＋an＝ap＋aq，常与求和公式Sn＝结合使用．1．等差数列中：(1)a1＝105，an＝994，d＝7，求Sn；(2)an＝8n＋2，d＝8，求S20；(3)d＝，n＝37，Sn＝629，求a1及an.[解](1)由an＝a1＋(n－1)d且a1＝105，d＝7，得994＝105＋(n－1)×7，解得n＝128，∴Sn＝＝＝70336.(2) an＝8n＋2，∴a1＝10，又d＝8，2∴S20＝20a1＋×8＝20×10＋10×19×8＝1720.(3)将d＝，n＝37，Sn＝629代入an＝a1＋(n－1)d，Sn＝，得解得等差数列前n项和公式在实际中的应用【例2】某抗洪指挥部接到预报，24小时后有一洪峰到达，为确保安全，指挥部决定在洪峰到来之前临时筑一道堤坝作为第二道防线．经计算，除现有的参战军民连续奋战外，还需调用20台同型号翻斗车，平均每辆车工作24小时．从各地紧急抽调的同型号翻斗车目前只有一辆投入使用，每隔20分钟能有一辆翻斗车到达，一共可调集25辆，那么在24小时内能否构筑成第二道防线？[解]从第一辆车投入工作算起各车工作时间(单位：小时)依次设为a1，a2，…，a25.由题意可知，此数列为等差数列，且a1＝24，公差d＝－.25辆翻斗车完成的工作量为：...