7.3正切函数的诱导公式学习目标核心素养1.借助单位圆中的三角函数线推导出正切函数的诱导公式.2.掌握正切函数的诱导公式．1.通过推导诱导公式，培养逻辑推理素养．2.通过运用正切函数的诱导公式解决问题，提升数学运算素养．正切函数的诱导公式角x函数y＝tanx记忆口诀kπ＋α(k∈Z)tanα函数名不变，符号看象限－α－tanαπ－α－tanαπ＋αtanα＋α－cotα函数名改变，符号看象限－αcotα思考：前面我们学习过π±α，－α，±α，2π±α等的正弦、余弦的诱导公式，并总结出“奇变偶不变，符号看象限”的记忆口诀．对正切函数能适用吗？[提示]因为tanα＝，所以口诀对正切函数依然适用．1．公式tan(π－α)＝－tanα成立的条件是()A．α为锐角B．α为不等于的任意角C．α为任意角D．α≠kπ＋(k∈Z)D[由正切函数的定义可知α≠kπ＋(k∈Z).]2．下列诱导公式中错误的是()A．tan(π－α)＝－tanαB．cos＝sinαC．sin(π＋α)＝－sinαD．cos(π－α)＝－cosα[答案]B3．tan等于()A．－cotαB．cotαC．tanαD．－tanα[答案]A4．tan的值为()A．B．－C．D．－D[tan＝tan＝－tan＝－.]三角函数间关系的应用【例1】已知角α的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P(3，y)，且tanα＝－.(1)求sinα＋cosα的值；(2)求的值．[解](1)因为tanα＝＝－，所以y＝－4，则r＝5.∴sinα＝－，cosα＝，则sinα＋cosα＝－.(2)原式＝＝＝＝＝－10.三角函数之间关系的应用利用三个三角函数之间的关系：tanα＝进行弦切互化；正用可以做到切化弦，逆用可以做到弦化切．1．已知α为第二象限角，且tanα－＝，求的值．[解]由tanα－＝，得4tan2α－15tanα－4＝0，得tanα＝－或tanα＝4.又α为第二象限的角，所以tanα＝－.故＝＝＝.利用诱导公式求值【例2】求下列各式的值：(1)tan；(2)tan10°＋tan170°＋sin1866°－sin(－606°).[思路探究]利用诱导公式化为锐角三角函数，再求值．[解](1)tan＝－tan＝－tan＝－tan＝tan＝.(2)原式＝tan10°＋tan(180°－10°)＋sin1866°－sin(－606°)＝tan10°－tan10°＋sin(5×360°＋66°)－sin[(－2)×360°＋114°]＝sin66°－sin66°＝0.利用诱导公式求值一般为：把负角三角函数化为正角三角函数，再化为0～2π间的三角函数，最后转化为锐角三角函数求值．2．求下列三角函数的值：(1)tan150°；(2)tan.[解](1)tan150°＝tan＝－tan30°＝－.(2)tan＝－tan＝－tan＝－tan＝－tan＝－.利用诱导公式化简与证明[探究问题]1．与正切函数有关的式子求值时应注意什么问题？[提示]求含有正切函数关系式的某个函数的定义域时，要注意正切函数值存在的条件．求值域时，不要忽视这个函数的定义域．2．利用正切函数的诱导公式解决给角求值的解题流程是怎样的？[提示]【例3】(1)化简：；(2)求值：.[思路探究]解答本题可依据先用周期性或关于－α的诱导公式，把角绝对值“化小”，再利用恰当的公式化简．[解](1)原式＝＝＝－cosα.(2)原式＝＝＝＝2－.1．将例3(1)变为“已知tan(3π－α)＝，求的值”．[解]因为tan(3π－α)＝tan(－α)＝－tanα＝，所以tanα＝－.原式＝＝＝－tanα＝.2．将例3(2)变为“若a＝”，试求a2＋a＋1的值．[解]a＝＝＝＝＝1，∴a2＋a＋1＝1＋1＋1＝3.1．三角函数式化简的常用方法(1)依据所给式子合理选用诱导公式将所给角的三角函数转化为角α的三角函数．(2)切化弦：一般需将表达式中的切函数转化为弦函数．2．三角恒等式的证明策略：在证明时一般从左边到右边，或从右边到左边，或左右归一，总之，应遵循化繁为简的原则．定义法，化弦法，拆项折角法，公式变形法．1．正切函数的诱导公式在记忆时可简单记为“奇变偶不变，符号看象限”，即k·±α中，如果k为奇数，则正切变余切，至于符号取决于角k·±α所在的象限．2．在对三角式进行化简、求值、证明中，要遵循诱导公式先行的原则．特别提醒：应用正切函数的诱导公式时，必须等式两边都有意义．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)tan＝cotα.()(2)对任意α∈R，都有tan(－α)＝－tanα.()(3)tan(kπ－α)＝－tanα.()[答案](1)√(2)×(3)√2．tan300°＋sin450°的值为()A．1＋B．1－C．－1－D．－1＋B[tan300°＋sin450°＝tan(360°－60°)＋sin(360°＋90°)＝－tan60°＋sin90°＝1－.]3．若cotα＝m，则tan＝()A．mB．－mC．D．－A[tan＝tan＝tan＝cotα＝m.]4．已知角α的终边经过点P(4，－3).(1)求sinα，cosα，tanα的值；(2)求·的值．[解](1)因为r＝＝5，所以sinα＝＝－，cosα＝＝，tanα＝＝－.(2)·＝·＝－＝－＝－.
