5.2正弦函数的性质学习目标核心素养1.理解、掌握正弦函数的性质．(重点)2．会求简单函数的定义域、值域．(重点)3．能利用单调性比较三角函数值的大小．(难点)1.通过理解正弦函数的性质，培养数学抽象素养．2．通过求简单函数的定义域、值域和比较三角函数的大小，提升数学运算素养．正弦函数的性质性质定义域__R__值域[－1，1]最大值与最小值当x＝2kπ＋(k∈Z)时，ymax＝1；当x＝2kπ＋(k∈Z)时，ymin＝－1周期性周期函数，T＝2π单调性在(k∈Z)上是增加的；在(k∈Z)上是减少的奇偶性奇函数对称性图像关于原点对称，对称中心(kπ，0)，k∈Z；对称轴x＝kπ＋，k∈Z思考：正弦函数的周期为2π，在研究正弦函数性质时，选取哪个区间研究，既好学，又有效？[提示]选取上的图像来研究，即可掌握整个定义域上的性质．1．下列函数中是奇函数的是()A．y＝－|sinx|B．y＝sin(－|x|)C．y＝sin|x|D．y＝xsin|x|D[利用定义，显然y＝xsin|x|是奇函数．]2．已知M和m分别是函数y＝sinx－1的最大值和最小值，则M＋m等于()A．B．－C．－D．－2D[因为M＝ymax＝－1＝－，m＝ymin＝－－1＝－，所以M＋m＝－－＝－2.]3．若函数f(x)＝sin2x＋a－1是奇函数，则a＝________．1[由奇函数的定义f(－x)＝－f(x)得a＝1.]4．函数y＝|sinx|的值域是________．[0，1][由函数y＝|sinx|的图像(图略)可知为[0，1].]正弦函数的周期性与奇偶性【例1】求下列函数的周期：(1)y＝sinx；(2)y＝|sinx|.[解](1) sin＝sin＝sinx，∴sinx的周期是4π.(2)作出y＝|sinx|的图像，如图．故周期为π.1．求正弦函数的周期时要注意结合图像判断，不要盲目套用结论．2．函数y＝sinx为奇函数时其定义域必须关于原点对称，否则不具有奇偶性．如y＝sinx，x∈[0，2π]是非奇非偶函数．1．判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝xsinx；(2)f(x)＝|sinx|＋1.[解](1) x∈R，且关于原点对称，又f(－x)＝－xsin(－x)＝xsinx＝f(x)，∴f(x)为偶函数．(2) x∈R，且关于原点对称，又f(－x)＝|sin(－x)|＋1＝f(x)，∴f(x)为偶函数．正弦函数的单调性及应用【例2】(1)比较下列各组数的大小：①sin与sin；②sin与sin.(2)求函数y＝logsin的递增区间．[解](1)①因为0＜＜＜，且y＝sinx在x∈上为单调增函数，∴sin＞sin，②因为＜＜＜π，且y＝sinx在上是减少的．所以sin＞sin，即sin＞sin.(2)由sin＞0得2kπ＜x－＜π＋2kπ(k∈Z)得＋2kπ＜x＜＋2kπ(k∈Z)，①要求原函数的递增区间，只需求函数y＝sin的递减区间，令＋2kπ≤x－≤＋2kπ(k∈Z)得＋2kπ≤x≤＋2kπ(k∈Z)，②由①②可知＋2kπ≤x＜π＋2kπ(k∈Z)，所以原函数的递增区间为(k∈Z)．1．比较sinα与sinβ的大小时，可利用诱导公式，把sinα与sinβ转化为同一单调区间上的正弦值，再借助于正弦函数的单调性来进行比较．2．比较sinα与cosβ的大小，常把cosβ转化为sin后，再依据单调性进行比较．3．当不能将两角转到同一单调区间上时，还可以借助于图像或值的符号比较．2．比较sin与sin的大小．[解] sin＝sin＝sin，sin＝sin＝sin. 0<<<.又y＝sinx在上单调递增，∴sin
