未知驱动探索，专注成就专业1离散数学(第二版)最全课后习题第一章：集合与关系1.1集合的基本概念1.设A={1,2,3}，B={2,3,4}，求A与B的并集和交集。A∪B={1,2,3,4}A∩B={2,3}2.证明或举反例：集合A、B满足A⊆B，B⊆C，则A⊆C。证明：由于A⊆B，B⊆C，那么对于任意的x，如果x∈A，那么x∈B，同时由于B⊆C，有x∈C。因此，对于任意的x，如果x∈A，那么x∈C，所以A⊆C。1.2二元关系1.给定关系R={(1,1),(1,2),(2,1),(2,3),(3,2)}，判断R是否是自反关系，对称关系，传递关系。未知驱动探索，专注成就专业2自反关系：关系R是自反关系，当且仅当对于所有的元素x∈A，(x,x)∈R。由于(1,1)，(2,2)，(3,3)存在于R中，所以R是自反关系。对称关系：关系R是对称关系，当且仅当对于所有的元素(x,y)∈R，有(y,x)∈R。由于(1,2)存在于R中，但(2,1)不在R中，所以R不是对称关系。传递关系：关系R是传递关系，当且仅当对于所有的元素(x,y)∈R和(y,z)∈R，有(x,z)∈R。由于(1,2)∈R和(2,3)∈R，所以(1,3)∈R；由于(2,3)∈R和(3,2)∈R，所以(2,2)∈R。所以R是传递关系。2.给定闵可夫斯基空间S={(0,0),(1,0),(0,1),(1,1)}，定义关系R如下：对于任意的(x1,y1),(x2,y2)∈S，(x1,y1)R(x2,y2)当且仅当|x1-x2|+|y1-y2|=1。判断关系R是否是自反关系，对称关系，传递关系。自反关系：关系R是自反关系，当且仅当对于所有的元素(x,y)∈S，(x,y)R(x,y)。由于对于任意的(x,y)∈S，有|x-x|+|y-y|=0，所以|x-x|+|y-y|=1不成立，所以R不是自反关系。对称关系：关系R是对称关系，当且仅当对于所有的元素未知驱动探索，专注成就专业3(x1,y1)R(x2,y2)，有(x2,y2)R(x1,y1)。由于R中的元素满足|x1-x2|+|y1-y2|=|x2-x1|+|y2-y1|=1，所以R是对称关系。传递关系：关系R是传递关系，当且仅当对于所有的元素(x1,y1)R(x2,y2)和(x2,y2)R(x3,y3)，有(x1,y1)R(x3,y3)。由于R中的元素满足|x1-x2|+|y1-y2|=|x2-x3|+|y2-y3|=1，所以R是传递关系。第二章：算法2.1基本概念1.简要介绍算法的定义和性质。算法是由一系列清晰明确的指令组成，用于解决特定问题或完成特定任务的过程。算法的性质包括有穷性、确定性、可行性和输入输出。有穷性：算法在有限的步骤之后结束，不会无限循环或永远运行。确定性：算法的每个步骤都有明确的意义，不会产生二义性或歧义。未知驱动探索，专注成就专业4可行性：算法的每个步骤都可以通过有限的运算来实现。输入输出：算法具有输入和输出，根据输入生成相应的输出。2.分析以下代码的时间复杂度：deffindMax(arr):maxVal=arr[0]forvalinarr:ifval>maxVal:maxVal=valreturnmaxVal时间复杂度：O(n)，其中n为数组arr的长度。因为在最坏情况下，需要遍历整个数组一次，比较n-1次。2.2算法设计1.使用分治法设计求解斐波那契数列的算法，并给出算法的时间复杂度。算法设计：1.如果n=0，返回0。2.如果n=1，返回1。3.否则，递归调用斐波那契数列函数来计算n-1和n-2的值，并返回它们的和。deffibonacci(n):ifn==0:未知驱动探索，专注成就专业5return0elifn==1:return1else:returnfibonacci(n-1)+fibonacci(n-2)时间复杂度：由于在计算斐波那契数列的过程中，存在大量的重复计算，因此时间复杂度为O(2^n)，其中n为斐波那契数列的索引。2.实现插入排序算法，并给出算法的时间复杂度。算法设计：1.从第二个元素开始，将其与已经排好序的子数组进行比较。2.如果当前元素小于已经排好序的子数组中的元素，则将当前元素插入到适当的位置。3.重复步骤2，直到所有元素都插入到正确的位置。definsertion_sort(arr):foriinrange(1,len(arr)):key=arr[i]j=i-1whilej>=0andarr[j]>key:arr[j+1]=arr[j]j=j-1arr[j+1]=keyreturnarr
