5.5复数一、明确复习目标1.了解复数的有关概念及复数的代数表示和几何意义.2.掌握复数代数形式的运算法则，能进行复数代数形式的加法、减法、乘法、除法运算3.了解从自然数系到复数系的关系及扩充的基本思想二．建构知识网络1．虚数单位i：i2=–1，实数可以与它进行四则运算，原有的加、乘运算律仍成立；就是－1的一个平方根，即方程x2=－1的一个根，方程x2=－1的另一个根是－；i具有周期性：4n+1=i,4n+2=-1,4n+3=-i,4n=1（nN）.2．形如：z=a+bi（a,bR）的数叫复数(代数形式),a叫实部，b叫虚部.复数（集C）的分类：NZQRC3.复数相等：设a,b,c,dR，则a+bi=c+dia=c,b=d；a+bi=0a=b=0；利用复数相等的条件转化为实数问题是解决复数问题的常用方法；4.复数的模：.两个复数不能比较大小，但它们的模可以比较大小；5．共轭复数：实部相等，虚部互为相反数：a+bi和a–bi（a,bR）；Z的共轭复数用表示,特别地:6．复平面、实轴、虚轴：——复数z=a+bi(a、b∈R)可用点Z(a，b)表示，,虚轴上的点,除原点外,都表示纯虚数.和向量一样,复数也可用有向线段表示,复数的加减法运算也可按平行四边形法则或三角形法则进行.7．掌握复数的和、差、积、商运算法则：z1±z2=(a+bi)±(c+di)=(a±c)+(b±d)i；(a+bi)(c+di)=(ac－bd)+(bc+ad)i；(a+bi)÷(c+di)=i（即分子分母同乘以分母的共轭复数,再化简）.复数运算满足加、乘的交换律、结合律、分配律.8.由复数相等的定义知:实系数一元二次方程ax2+bx+c=0在当Δ<0时,有一对共轭虚根.三、双基题目练练手1.(2006全国Ⅰ)如果复数是实数，则实数()A.B.C.D.2.(2006浙江)已知=1－ni,其中m,n是实数,i是虚数单位,则m+ni=()(A)(B)(C)(D)3.在复平面内，若所对应的点在第二象限，则实数m的取值范围是（）A．B．C．D．4.(2006山东)已知的展开式中第三项与第五项的系数之比为，其中，则展开式中常数项是()A.B.C.D.5.（2006安徽）复数等于_________6.(2006上海5)若复数同时满足－＝2，＝（为虚数单位），则＝；7.(2006湖北)设x、y为实数，且，则x+y=________.8.已知z1=x2+，z2=（x2+a）i对于任意xR均有|z1|>|z2|成立，试求实数a的取值范围.简答:1-4.BCDD;5.i;6.已知；7.4;8.|z1|>|z2|即(2a-1)x2<1-a2恒成立,得四、经典例题做一做【例1】设复数z=lg（m2－2m－2）＋（m2＋3m＋2）i，试求实数m取何值时，(1)z是纯虚数；(2)z是实数；(3)z对应的点位于复平面的第二象限解：(1)由lg（m2－2m－2）=０，m2＋3m＋2≠０，得m=3(2)由m2＋3m＋2=０，得m=－1或m=－2(3)由lg（m2－2m－2）＜０，m2＋3m＋2＞０，得－1＜m＜1－或1＋＜m＜3点评：对复数的分类条件要注意其充要性，对复数相等、共轭复数的概念的运用也是这样【例2】（2005上海）在复数范围内解方程(i为虚数单位)解.原方程化简为,设z=x+yi(x、y∈R),代入上述方程得x2+y2+2xi=1-i,∴x2+y2=1且2x=-1,解得x=-且y=±,∴原方程的解是z=-±i.提炼方法：设z=x+yi(x、y∈R),利用复数相等的定义.【例3】设a∈R,z=x=yi,(x,y∈R),满足是纯虚数，求x,y应满足的条件解：设=ki(k∈R,k≠0)则z2─a2=ki(z2+a2)z2(1─ki)=a2(1+ki),∴(x2─y2+2xyi)(1─ki)=a2+a2ki,消去参数k即得：x2+y2=a2,◆提炼方法：(1)纯虚数的概念;(2)虚部的概念;(3)化复数问题为实数问题的化归思想(设z=a+bi(a,b∈R));(4)若两个复数能比较大小，则它们都是实数(5)实轴,虚轴的概念新疆源头学子小屋特级教师王新敞http://www.xjktyg.com/wxc/wxckt@126.comwxckt@126.comhttp://www.xjktyg.com/wxc/王新敞特级教师源头学子小屋新疆【例4】(2006春上海)已知复数满足为虚数单位），，求一个以为根的实系数一元二次方程.[解法一]，∴.若实系数一元二次方程有虚根，则必有共轭虚根.，所求的一个一元二次方程可以是.[解法二]设，得，以下解法同[解法一].【研讨.欣赏】设z∈C，求满足z+∈R且|z－2|=2的复数z.分析：设z=a+bi(a、b∈R)，代入条件，把复数问题转化为实数问题，易得a、b的两个方程解法一：设z=a+bi，则z+=a+bi+=a+bi+=a++(b－)i∈R∴b=∴b=0或a2+b2=1当b=0时，z=a，∴|a－2|=2∴a=0或4a=0不合题意舍去，∴z=4当b≠0时，a2+b2=1又 |z－2|=2，∴(a－2)2+b2=4解得a=，b=...
