第4节复数考试要求1.通过方程的解，认识复数；2.理解复数的代数表示及其几何意义，理解两个复数相等的含义；3.掌握复数代数表示式的四则运算，了解复数加、减运算的几何意义.知识梳理1.复数的有关概念内容意义备注复数的概念形如a＋bi(a∈R，b∈R)的数叫复数，其中实部为a，虚部为b若b＝0，则a＋bi为实数；若a＝0且b≠0，则a＋bi为纯虚数复数相等a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)共轭复数a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c且b＝－d(a，b，c，d∈R)复平面建立平面直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫实轴，y轴叫虚轴实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，各象限内的点都表示虚数复数的模设OZ对应的复数为z＝a＋bi，则向量OZ的长度叫做复数z＝a＋bi的模|z|＝|a＋bi|＝2.复数的几何意义复数集C和复平面内所有的点组成的集合是一一对应的，复数集C与复平面内所有以原点O为起点的向量组成的集合也是一一对应的，即(1)复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R).(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)平面向量OZ.3.复数的运算设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则(1)加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；(2)减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；(3)乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；(4)除法：＝＝＝(c＋di≠0).[微点提醒]1.i的乘方具有周期性in＝(k∈Z).2.复数的模与共轭复数的关系z·z＝|z|2＝|z|2.3.两个注意点(1)两个虚数不能比较大小；(2)利用复数相等a＋bi＝c＋di列方程时，注意a，b，c，d∈R的前提条件.基础自测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)中，虚部为bi.()(2)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小.()(3)原点是实轴与虚轴的交点.()(4)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模.()解析(1)虚部为b；(2)虚数不可以比较大小.答案(1)×(2)×(3)√(4)√2.(选修2－2P106A2改编)若复数(a2－3a＋2)＋(a－1)i是纯虚数，则实数a的值为()A.1B.2C.1或2D.－1解析依题意，有解得a＝2，故选B.答案B3.(选修2－2P116A1改编)复数的共轭复数是()A.2－iB.2＋iC.3－4iD.3＋4i解析＝＝(2＋i)2＝3＋4i，所以其共轭复数是3－4i.答案C4.(2017·全国Ⅱ卷)＝()A.1＋2iB.1－2iC.2＋iD.2－i解析＝＝2－i.答案D5.(2018·北京卷)在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析＝＝＋i，其共轭复数为－i，∴复数的共轭复数对应的点的坐标为，位于第四象限，故选D.答案D6.(2019·青岛一模)已知复数z＝－1＋i(i是虚数单位)，则＝________.解析 z＝－1＋i，则z2＝－2i，∴＝＝＝＝－1.答案－1考点一复数的相关概念【例1】(1)(2019·上海崇明区质检)已知z＝，则复数z的虚部为()A.－iB.2C.－2iD.－2(2)已知在复平面内，复数z对应的点是Z(1，－2)，则复数z的共轭复数z＝()A.2－iB.2＋iC.1－2iD.1＋2i(3)(2019·大连一模)若复数z＝为纯虚数，则实数a的值为()A.1B.0C.－D.－1解析(1) z＝＝＝－1－2i，则复数z的虚部为－2.故选D.(2) 复数z对应的点是Z(1，－2)，∴z＝1－2i，∴复数z的共轭复数z＝1＋2i，故选D.(3)设z＝bi，b∈R且b≠0，则＝bi，得到1＋i＝－ab＋bi，∴1＝－ab，且1＝b，解得a＝－1，故选D.答案(1)D(2)D(3)D规律方法1.复数的分类及对应点的位置都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可.2.解题时一定要先看复数是否为a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部.【训练1】(1)已知复数z满足：(2＋i)z＝1－i，其中i是虚数单位，则z的共轭复数为()A.－iB.＋iC.－iD.＋i(2)(2019·株洲二模)设i为虚数单位，1－i＝，则实数a＝()A.2B.1C.0D.－1解析(1)由(2＋i)z＝1－i，得z＝＝＝－i，∴z＝＋i.故选B.(2) 1－i＝，∴2＋ai＝(1－i)(1＋i)＝2，解得a＝0.故选C.答案(1)B(2)C考点二复数的几何意义【例2】(1)已知i是虚数单位，设复数z1＝1＋i，z2＝1＋2i，则在复平面内对应的点在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限(2)(201...
