函数的值域二．教学目标：理解函数值域的意义；掌握常见题型求值域的方法，了解函数值域的一些应用．三．教学重点：求函数的值域．四．教学过程：（一）主要知识：1．函数的值域的定义；2．确定函数的值域的原则；3．求函数的值域的方法．（二）主要方法（范例分析以后由学生归纳）：求函数的值域的方法常用的有：直接法，配方法，判别式法，基本不等式法，逆求法（反函数法），换元法，图像法，利用函数的单调性、奇偶性求函数的值域等．（三）例题分析：例1．求下列函数的值域：（1）232yxx；（2）265yxx；（3）312xyx；（4）41yxx；（5）21yxx；（6）|1||4|yxx；（7）22221xxyxx；（8）2211()212xxyxx；（9）1sin2cosxyx．解：（1）（一）公式法（略）（二）（配方法）2212323323()61212yxxx，∴232yxx的值域为23[,)12．改题：求函数232yxx，[1,3]x的值域．解：（利用函数的单调性）函数232yxx在[1,3]x上单调增，∴当1x时，原函数有最小值为4；当3x时，原函数有最大值为26．∴函数232yxx，[1,3]x的值域为[4,26]．（2）求复合函数的值域：设265xx（0），则原函数可化为y．又 2265(3)44xxx，∴04，故[0,2]，∴265yxx的值域为[0,2]．（3）（法一）反函数法：312xyx的反函数为213xyx，其定义域为{|3}xRx，∴原函数312xyx的值域为{|3}yRy．（法二）分离变量法：313(2)773222xxyxxx， 702x，∴7332x，用心爱心专心1∴函数312xyx的值域为{|3}yRy．（4）换元法（代数换元法）：设10tx，则21xt，∴原函数可化为2214(2)5(0)ytttt，∴5y，∴原函数值域为(,5]．说明：总结yaxbcxd型值域，变形：22yaxbcxd或2yaxbcxd（5）三角换元法： 21011xx，∴设cos,[0,]x，则cossin2sin()4y [0,]，∴5[,]444，∴2sin()[,1]42，∴2sin()[1,2]4，∴原函数的值域为[1,2]．（6）数形结合法：23(4)|1||4|5(41)23(1)xxyxxxxx，∴5y，∴函数值域为[5,)．（7）判别式法： 210xx恒成立，∴函数的定义域为R．由22221xxyxx得：2(2)(1)20yxyxy①①当20y即2y时，①即300x，∴0xR②当20y即2y时， xR时方程2(2)(1)20yxyxy恒有实根，∴22(1)4(2)0yy，∴15y且2y，∴原函数的值域为[1,5]．用心爱心专心2（8）2121(21)111121212121222xxxxyxxxxxx， 12x，∴102x，∴1111222()21122()22xxxx，当且仅当112122xx时，即122x时等号成立．∴122y，∴原函数的值域为1[2,)2．（9）（法一）方程法：原函数可化为：sincos12xyxy，∴21sin()12yxy（其中221cos,sin11yyy），∴212sin()[1,1]1yxy，∴2|12|1yy，∴2340yy，∴403y，∴原函数的值域为4[0,]3．（法二）数形结合法：可看作求点(2,1)与圆221xy上的点的连线的斜率的范围，解略．例2．若关于x的方程|3|2(22)3xa有实数根，求实数a的取值范围．解：原方程可化为|3|2(22)3xa，令|3|2xt，则01t，2()(2)3aftt，又 ()aft在区间(0,1]上是减函数，∴(1)()(0)fftf，即2()1ft，故实数a的取值范围为：21a．例3．（《高考A计划》考点9，智能训练16）某化妆品生产企业为了占有更多的市场份额，拟在2003年度进行一系列的促销活动．经过市场调查和测算，化妆品的年销量x万件与年促销费用t万元(0)t之间满足：3x与1t成反比例；如果不搞促销活动，化妆品的年销量只能是1万件．已知2003年，生产化妆品的固定投入为3万元，每生产1万件化妆品需再...
