1.5.1全称量词与存在量词课标解读课标要求核心素养通过已知的数学实例,理解全称量词与存在量词的意义.(重点、难点)1.通过理解全称量词与存在量词的意义,培养数学抽象的核心素养.2.借助全称量词命题和存在量词命题真假的判断求参数的取值范围,提升数学运算的核心素养.观察下面的两个命题,思考下列问题:p:对所有的m∈R,m≤3;q:存在一个m0∈Z,m0>3.问题1:上述两个命题各含有什么量词?答案命题p中含有量词“所有的”;命题q中含有量词“存在一个”.问题2:判断上述两个命题的真假.答案命题p是假命题;命题q是真命题.全称量词和存在量词全称量词存在量词量词所有的、任意一个存在一个、至少有一个符号∀①∃命题含有②全称量词的命题是全称量词命题含有③存在量词的命题是存在量词命题续表全称量词存在量词命题形式“对M中任意一个x,p(x)成立”,可用符号简记为“④∀x∈M,p(x)”“存在M中的元素x,p(x)成立”,可用符号简记为“⑤∃x∈M,p(x)”思考:“有一个实数乘任意一个实数都等于0”是存在量词命题还是全称量词命题,试改写成相应命题的形式?提示是存在量词命题.可改写为“存在一个实数,它乘任意一个实数都等于0”.特别提醒(1)在全称量词命题与存在量词命题中的“x,M与p(x)”表达的含义:元素x可以表示实数、方程、函数、不等式,也可以表示几何图形,相应的集合M是这些元素的某一特定的范围,p(x)表示集合M的所有元素满足的条件.如“任意一个自然数都不小于0”,可以表示为“∀x∈N,x≥0”.(2)在存在量词命题中,量词不可以省略;在有些全称量词命题中,量词可以省略.探究一全称量词命题与存在量词命题的判断例1判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题,并用符号“∀”或“∃”表示下列命题.(1)自然数的平方大于或等于零;(2)有的一次函数的图象经过原点;(3)所有的二次函数的图象的开口都向上.解析(1)全称量词命题.表示为∀n∈N,n2≥0.(2)存在量词命题.表示为∃一次函数,它的图象过原点.(3)全称量词命题.表示为∀二次函数,它的图象的开口向上.思维突破全称量词命题与存在量词命题的判断1.下列命题中,全称量词命题的个数为()①平行四边形的对角线互相平分;②梯形有两条边平行;③存在一个菱形,它的四条边不相等.A.0B.1C.2D.3答案C①②是全称量词命题,③是存在量词命题.探究二全称量词命题与存在量词命题真假的判断例2判断下列命题的真假:(1)任意两个面积相等的三角形一定相似;(2)∃x,y为正实数,使x2+y2=0;(3)在平面直角坐标系中,任意有序实数对(x,y)都对应一点P;(4)∀x∈N,x2>0.解析(1)因为面积相等的三角形不一定相似,所以它是假命题.(2)因为当x2+y2=0时,x=y=0,所以不存在x,y为正实数,使x2+y2=0,故是假命题.(3)由有序实数对与平面直角坐标系中的点的对应关系知,命题是真命题.(4)因为0∈N,02=0,所以命题“∀x∈N,x2>0”是假命题.思维突破全称量词命题与存在量词命题真假的判断技巧(1)全称量词命题真假的判断:要判定一个全称量词命题是真命题,必须对限定集合M中的每个元素x验证p(x)成立;但要判定全称量词命题是假命题,只需举出限定集合M中的一个x0,使得p(x0)不成立即可(这就是通常所说的“举出一个反例”).(2)存在量词命题真假的判断:要判定一个存在量词命题是真命题,只要在限定集合M中,找到一个x0,使p(x0)成立即可;否则,这一存在量词命题就是假命题.2.判断下列命题的真假:(1)∃x∈Z,x3<1;(2)对任意的a,b∈R,都有a2+b2-2a-2b+2<0;(3)若整数m是偶数,则m是合数.解析(1)因为-1∈Z,且(-1)3=-1<1,所以“∃x∈Z,x3<1”是真命题.(2)因为a2+b2-2a-2b+2=(a-1)2+(b-1)2≥0,故是假命题.(3)2是偶数,但2是质数,故是假命题.探究三由全称量词命题与存在量词命题的真假求参数的范围例3已知集合A={x|-2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m-1},且B≠⌀,若命题p:“∀x∈B,x∈A”是真命题,求实数m的取值范围.解析因为命题p:“∀x∈B,x∈A”是真命题,所以B⊆A,又B≠⌀,所以{m+1≤2m-1,m+1≥-2,2m-1≤5,解得2≤m≤3.故实数m的取值范围是{m|2≤m≤3}.思维突破解由含量词的命题的真假求参数的取值范围的问题时,一般先把命题的真假问题转化为集合间的关系问题,再转化为关于参数的不等式(组)求参数范围问题.3.(1)(变条件)把例3中的命题p...
