第2讲参数方程一、知识梳理1．参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式，一般地，可以通过消去参数，从参数方程得到普通方程．(2)如果知道变数x，y中的一个与参数t的关系，例如x＝f(t)，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y＝g(t)，那么就是曲线的参数方程，在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保持一致．2．直线、圆和圆锥曲线的参数方程名称普通方程参数方程直线y－y0＝k(x－x0)(t为参数)圆(x－x0)2＋(y－y0)2＝r2(θ为参数且0≤θ<2π)椭圆＋＝1(a>b>0)(t为参数且0≤t<2π)抛物线y2＝2px(p>0)(t为参数)常用结论经过点P(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为(t为参数)．若A，B为直线l上的两点，其对应的参数分别为t1，t2，线段AB的中点为M，点M所对应的参数为t0，则以下结论在解题中经常用到：(1)t0＝；(2)|PM|＝|t0|＝；(3)|AB|＝|t2－t1|；(4)|PA|·|PB|＝|t1·t2|.二、习题改编1．(选修44P22例1改编)已知曲线C的参数方程为(t为参数)，点M(－6，a)在曲线C上，则a＝．解析：由题意得所以答案：92．(选修44P36例1改编)在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)，与圆C：(x－3)2＋(y－3)2＝4交于A，B两点，求|AB|.解：将直线l的参数方式代入圆C的直角坐标方程，得＋＝4，即t2－4t＋6＝0，设两交点A，B所对应的参数分别为t1，t2，从而t1＋t2＝4，t1t2＝6，则|AB|＝|t1－t2|＝＝2.一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)参数方程中的x，y都是参数t的函数．()(2)过M0(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为(t为参数)．参数t的几何意义表示：直线l上以定点M0为起点，任一点M(x，y)为终点的有向线段M0M的数量．()(3)已知椭圆的参数方程(t为参数)，点M在椭圆上，对应参数t＝，点O为原点，则直线OM的斜率为.()答案：(1)√(2)√(3)×二、易错纠偏(1)不注意互化的等价性致误；(2)直线参数方程中参数t的几何意义不清致误．1．在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为(θ为参数)，求曲线C的普通方程．解：由x＝2＋sin2θ，0≤sin2θ≤1⇒2≤2＋sin2θ≤3⇒2≤x≤3，⇒⇒⇒2x＋y－4＝0(2≤x≤3)．2．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)，曲线C的普通方程为(x－4)2＋(y－3)2＝4，设点M(2，1)，直线l与曲线C相交于A，B两点，求|MA|·|MB|的值．解：设点A，B对应的参数分别为t1，t2，将(t为参数)代入(x－4)2＋(y－3)2＝4，得t2－(＋1)t＋1＝0，所以t1t2＝1，直线l：(t为参数)，可化为，所以|MA|·|MB|＝|2t1||2t2|＝4|t1t2|＝4.参数方程与普通方程的互化(师生共研)已知曲线C1：(t为参数)，曲线C2：(θ为参数)．化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线．【解】曲线C1：(x＋4)2＋(y－3)2＝1，曲线C2：＋＝1，曲线C1是以(－4，3)为圆心，1为半径的圆；曲线C2是中心为坐标原点，焦点在x轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆．将参数方程化为普通方程的方法(1)将参数方程化为普通方程，需要根据参数方程的结构特征，选取适当的消参方法．常见的消参方法有：代入消参法、加减消参法、平方消参法等．对于含三角函数的参数方程，常利用同角三角函数关系式消参，如sin2θ＋cos2θ＝1等．(2)将参数方程化为普通方程时，要注意两种方程的等价性，不要增解．1．求直线(t为参数)与曲线(α为参数)的交点个数．解：将消去参数t得直线x＋y－1＝0；将消去参数α得圆x2＋y2＝9.又圆心(0，0)到直线x＋y－1＝0的距离d＝<3.因此直线与圆相交，故直线与曲线有2个交点．2．如图，以过原点的直线的倾斜角θ为参数，求圆x2＋y2－x＝0的参数方程．解：圆的半径为，记圆心为C，连接CP，则∠PCx＝2θ，故xP＝＋cos2θ＝cos2θ，yP＝sin2θ＝sinθcosθ(θ为参数)．所以圆的参数方程为(θ为参数)．参数方程的应用(师生共研)(2019·高考全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(t为参数)．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2ρcosθ＋ρsinθ＋11＝0.(1)求C和l的直角坐标方程；(2)求C上的点到l距离的最小值．【解】(1)因为－1<≤1，且x2＋＝＋＝1，所以...
