第八节圆锥曲线的综合问题考点一圆锥曲线中的最值(或取值范围)问题[例1](·新课标全国卷Ⅱ)平面直角坐标系xOy中，过椭圆M：＋＝1(a>b>0)右焦点的直线x＋y－＝0交M于A，B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为.(1)求M的方程；(2)C，D为M上的两点，若四边形ACBD的对角线CD⊥AB，求四边形ACBD面积的最大值．[自主解答](1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，则＋＝1，＋＝1，＝－1，由此可得＝－＝1.因为x1＋x2＝2x0，y1＋y2＝2y0，＝，所以a2＝2b2.又由题意知，M的右焦点为(，0)，故a2－b2＝3.因此a2＝6，b2＝3.所以M的方程为＋＝1.(2)由解得或因此|AB|＝.由题意可设直线CD的方程为y＝x＋n，设C(x3，y3)，D(x4，y4)．由得3x2＋4nx＋2n2－6＝0.于是x3,4＝.因为直线CD的斜率为1，所以|CD|＝|x4－x3|＝.由已知，四边形ACBD的面积S＝|CD|·|AB|＝.当n＝0时，S取得最大值，最大值为.所以四边形ACBD面积的最大值为.【互动探究】若本例的条件不变，则四边形ACBD的面积有最小值吗？若有，求出其值；若没有，说明理由．解：由(2)可知3x2＋4nx＋2n2－6＝0，又 y＝x＋n与椭圆＋＝1相交，∴Δ＝(4n)2－4×3(2n2－6)＝8(9－n2)>0，即－31)，试求λ的取值范围．解：(1)设动圆圆心C的坐标为(x，y)，圆心C到直线l0的距离为d，由题意可知|CA|＝d，故由抛物线的定义可知动圆圆心C的轨迹D的方程为y2＝4x.(2)易知曲线E的方程为y2＝4x(x≤4)，显然当直线l的斜率为零或不存在时不符合题意，故可设直线l的方程为y＝kx＋2(k≠0)．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由＝λ(λ>1)知x1＝λx2，且01，所以λ的取值范围是(1,9]．考点二定点问题[例2](·陕西高考)已知动圆过定点A(4,0)，且在y轴上截得弦MN的长为8.(1)求动圆圆心的轨迹C的方程；(2)已知点B(－1,0)，设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点P，Q，若x轴是∠PBQ的角平分线，证明直线l过定点．[自主解答](1)如图，设动圆圆心O1(x，y)，由题意，|O1A|＝|O1M|，当O1不在y轴上时，过O1作O1H⊥MN交MN于H，则H是MN的中点，∴|O1M|＝，又|O1A|＝，∴＝，化简得y2＝8x(x≠0)．又当O1在y轴上时，O1与O重合，点O1的坐标(0,0)也满足方程y2＝8x，∴动圆圆心的轨迹C的方程为y2＝8x.(2)证明：由题意，设直线l的方程为y＝kx＋b(k≠0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，将y＝kx＋b代入y2＝8x中，得k2x2＋(2bk－8)x＋b2＝0，其中Δ＝－32kb＋64>0.由根与系数的关系得，x1＋x2＝，①x1x2＝，②因为x轴是∠PBQ的角平分线，所以＝－，即y1(x2＋1)＋y2(x1＋1)＝0，(kx1＋b)(x2＋1)＋(k...
