初中数学压轴题--动态几何证明及实验题VIP专享VIP免费

动态几何证明及实验题所谓动态几何是指题设图形中存在一个或多个动点，它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目．解决这类问题的关键是动中求静，灵活运用有关数学知识解决问题．此类题目注重对几何图形运动变化能力的考查．动态几何问题是近几年各地试题中常见的压轴试题，它能考查学生的多种能力，有较强的选拔功能。解这类题目要“以静制动”，即把动态问题，变为静态问题来解。解动态几何题一般方法是针对这些点在运动变化的过程中相伴随着的数量关系（如等量关系、变量关系）、图形位置关系（如图形的特殊状态、图形间的特殊关系）等进行研究考察．抓住变化中的“不变量”，以不变应万变．实验操作【要点导航】通过实验操作——观察猜想——科学论证，使我们体验和学到了发现、获得知识的过程和方法.实验操作探索——理解题意、实验操作是基本保证，观察猜想、探索结论是关键，论证猜想的结论是落实.【典例精析】例1取一张矩形纸片进行折叠，具体操作过程如下：第一步：先把矩形ABCD对折，折痕为MN，如图1；第二步：再把B点叠在折痕线MN上，折痕为AE，点B在MN上的对应点为B'，得Rt△AB'E，如图2；第三步：沿EB'线折叠得折痕EF，使A点落在EC的延长线上，如图3．利用展开图4探究：（1）△AEF是什么三角形？证明你的结论；（2）对于任一矩形，按照上述方法能否折出这种三角形？请说明你的理由．【思路分析】1．图形翻折后能重叠部分的图形全等，所以∠BEA=∠AEB'=∠FEC，它们都是60°角，所以△AEF是等边三角形．2．由操作可知AF>AD时，不能完整折出这种三角形．当图3中的点F、D重合时，便可求得矩形的长与宽的比例为2︰．解（1）△AEF是等边三角形．由折叠过程可得：．因为BC∥AD，所以．所以△AEF是等边三角形．（2）不一定．当矩形的长恰好等于等边△AEF的边AF时，即矩形的宽∶长＝AB∶AF＝时正好能图1图2图3图4折出．如果设矩形的长为A，宽为B，可知当时，按此种方法一定能折叠出等边三角形；当时，按此法无法折出完整的等边三角形．〖方法点睛〗要从操作实验题中抽象出数学模型来，并借助图形运动的基本性质求解．例2已知：在△ABC中，∠BAC=90°，M为BC中点．操作：将三角板的90°角的顶点与点M重合，并绕着点M旋转，角的两边分别与边AB、AC相交于点E、F．（1）探究1：线段BE、EF、FC是否能构成三角形？如果可以构成三角形，那么是什么形状的三角形？请证明你的猜想．（2）探究2：若改变为：“角的两边分别与边AB、直线AC相交于点E、F．”其它条件都不变的情况下，那么结论是否还存在？请画出对应的图形并请证明你的猜想．〖思路分析〗1．由点M是BC中点，所以构造绕点M旋转180°重合的全等三角形，将线段BE、EF、FC移到同一个三角形中．2．当角的两边分别与边AB、直线AC相交于点E、F时，构造和证明的方法不变．证明（1）线段BE、EF、FC可以构成直角三角形．如图1，延长EM到G，使得EM=MG，联结GC、FG．因为M为BC中点，所以BM=CM，又因为∠EMB=∠GMC，EM=MG，所以△EMB≌△GMC，所以BE=GC，EM=MG，∠B=∠MCG．因为FM垂直平分EG，所以FE=FG．又因为∠BAC=90°，所以∠B+∠ACB=90°，所以∠MCG+∠ACB=90°，即∠FCG=90°，所以，所以．（2）如图2，当点F在CA的延长线上时，延长EM到G，使得EM=MG，联结GC、FG．因为M为BC中点，所以BM=CM，又因为∠EMB=∠GMC，EM=EG，所以△EMB≌△GMC，所以BE=GC，EM=MG，∠B=∠MCG．因为FM垂直平分EG，所以FE=FG．又因为∠BAC=90°，所以∠B+∠ACB=90°，所以∠MCG+∠ACB=90°，即∠FCG=90°，所以，所以．如图3，当点F在AC的延长线上时，同理可证．〖方法点睛〗线段之间常见的关系是和差关系或者满足勾股定ABCMABCMEFGABCMEFG图3△FCG为阴影ABCMEFG图2△FCG为阴影△FCG为阴影标注三角板为阴影标注三角板为阴影标注三角板为阴影理．若能将所要求线段移动到同一条直线上，则线段之间是和差关系的可能性较大，若能将所要求线段移动后能构成三角形，则线段之间满足勾股定理的可能性较大．【星级训练】第天，年月日1.★★★如图，在正方形ABCD中，点E在边AB上（点E与点A、B不重合），过点E作FG⊥DE，FG与边BC相交于点F，与边DA的延长线相交于...