这样的数列陷阱你会掉进去吗？VIP专享VIP免费

作者简介：曹标平：男，湖北襄阳五中数学教师联系电话：18972209336Email:caobiaoping@sina.com地址：湖北省襄阳市高新区邓城大道66号襄阳五中邮编：441057这样的数列陷阱你会掉进去吗？湖北襄阳五中曹标平441057数列因为比较抽象，所以在学习的过程中，很多学生学起来比较吃力，经常会发生一些连自己很难找到原因的错误．这里主要看一些比较常见但容易忽视的几个陷阱．陷阱1：等比数列求和时忽视讨论公比是否为1例1.求和：分析：当时，是常数列0,0,0，……，0；当时，是等比数列，在求和时要讨论公比是否为1.解：当时，原式=0；当时，原式=1+1+1+……+1=n;当且时，原式=.综上：原式=.陷阱2：忽视递推关系成立的范围例2.已知数列中，，且当时，，求数列的通项公式．错解：设，而，所以……①……②相减得：，……③所以是以为首项，2为公比的等比数列，．分析：由所求的的通项公式知，而由题设知，上面所求的结果明显不对，那么问题出在哪里呢？仔细研究发现，因为①式是在的条件下成立，所以基于①式得到的③式也是在的条件下成立，即是等比数列，并不能保证是等比数列，所以正确答案应该是．练习１．已知数列中，，且当时，，求数列的通项公式．（答案：）陷阱3：忽视值的符号例3.在等比数列中，表示其前项和，已知，则．解：由已知条件有方程组．思路1：根据等比数列的性质知成等比数列，所以，解得：或思路2：，所以．分析：思路1很明显产生一个多余的结果，造成这种结果的原因在哪里呢？仔细研究发现，，所以这一结果应舍去．因此我们发现，在利用一些性质解题时，一定要注意符号优先的原则，否则很容易出错．例4．已知数列成等比数列，则．解：等比数列中，，，又，故.练习2．在等比数列中，若是方程的两根，则解：方程有两正根1,4.在等比数列中，，又，.陷阱4：忽视式子的符号例5.是各项为正的数列，且，求与．解法1：n=1时，，求得时，，，两式相减并整理得：……①平方得：……②记，有，所以是以2为首项，4为公差的等差数列，所以，即，解得因为，所以或．解法2：n=1时，，求得时，，所以，整理得：所以是以1为首项，1为公差的等差数列，故，因为是各项为正的数列，所以，．分析：像这种已知与的混合关系式，求的问题常用的是两个思路：思路１，消去，将已知关系式转化为的递推关系式，从而求；思路２，消去，将已知关系式转化为的递推关系式，先求出后再求．本题的解法1采用的就是第一种思路，解法2采用的是第二种思路，但解法1很明显产生了一个多余的结果，原因又出在哪里呢？仔细研究发现，问题主要出现在对①式的平方上，因为，一平方就容易产生增根．那么如何舍掉其中的一个结果呢？因为时，，，所以，，故时，．所以应舍去．