变化率与导数VIP免费

微积分主要与四类问题的处理相关:•一、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等;•二、求曲线的切线;•三、求已知函数的最大值与最小值;•四、求长度、面积、体积和重心等。导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等问题最一般、最有效的工具。变化率问题34()3Vrr问题1气球膨胀率33()4VrV2()4.96.510httt问题2高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度是引导：1这一现象中，哪些量在改变？2变量的变化情况？3引入气球平均膨胀率的概念3343()()34VVrrrV当空气容量Ｖ从０增加１Ｌ时，半径增加了r(1)－r(0)=0.62当空气容量Ｖ从１加２Ｌ时，半径增加了r(２)－r(１)=0.１６探究活动气球的平均膨胀率是一个特殊的情况，我们把这一思路延伸到函数上，归纳一下得出函数的平均变化率21212121()()()()rVrVfxfxVVxx设某个变量f随x的变化而变化，0limxfx0()()limxfxxfxx从x经过△x，量f的改变量为()()ffxxfx量f的平均变化率为()()ffxxfxxx0xfx令，则得到在的（瞬时）变化率：平均速度反映了汽车在前10秒内的快慢程度，为了了解汽车的性能，还需要知道汽车在某一时刻的速度——瞬时速度．2．瞬时速度平均速度的概念这段时间内汽车的平均速度为)/(5410150hkmtsv所有的时间经过的路程已知物体作变速直线运动，其运动方程为s＝s(t)(ｓ表示位移，t表示时间)，求物体在t0时刻的速度．OA0A1sss(t)s=如图设该物体在时刻t0的位置是ｓ(t0)＝OA0，在时刻t0+t的位置是s(t0+t)＝OA1，则从t0到t0+t这段时间内，物体的位移是)()(0001tsttsOAOAs在时间段(t0+t)－t0=t内，物体的平均速度为:tsttttsttsv0000)()(要精确地描述非匀速直线运动，就要知道物体在每一时刻运动的快慢程度．如果物体的运动规律是s=s(t)，那么物体在时刻t的瞬时速度v，就是物体在t到t+t这段时间内，当t0时平均速度．的极限．即vttsttstsvt)()(lim0要精确地描述非匀速直线运动，就要知道物体在每一时刻运动的快慢程度．如果物体的运动规律是s=s(t)，那么物体在时刻t的瞬时速度v，就是物体在t到t+t这段时间内，当t0时平均速度的极限．即vttsttstsvt)()(lim0瞬时速度2()4.96.510httt高台跳水vΔtΔt-0.1-12.610.1-13.59-0.01-13.0510.01-13.149-0.001-13.09510.001-13.1049-0.0001-13.0099510.0001-13.10049-0.00001-13.0999510.00001-13.1000492()4.96.510httt高台跳水()()hhtthtvtt00(2)(2)(2)limlim(4.913.1)13.1tththvtt导数的概念00000()()()limlimxxfxxfxffxxx一般地，函数y=f(x)在点x=x0处的瞬时变化率是0000()()limlimxxfxxfxfxxoxxy0()fx我们称它为函数y=f(x)在点x=x0处的导数，记为或，即导数的概念也可记作oxxy若这个极限不存在，则称在点x0处不可导。设函数y=f(x)在点x=x0的附近有定义，当自变量x在x0处取得增量△x(点x0+△x仍在该定义内）时，相应地函数y取得增量△y=f(x0+△x)-f(x0)，若△y与△x之比当△x→0的极限存在，则称函数y=f(x)在点x0处可导，并称这个极限为函数y=f(x)在点x0处的导数，记为。0()fx00000()()()limlimxxfxxfxyfxxx即00()(),VtSt0()Kfx切说明：)(xf0x0xxyxy0x（1）函数在点处可导，是指时，有极限．如果不存在极限，就说函数在处不可导，或说无导数．点x是自变量x在0x处的改变量，0x，而y是函数值的改变量，可以是零．（2）)(xfy0x由导数的定义可知，求函数在处的导数的步骤:00()()ffxxfx（1）求函数的增量:；00()()fxxfxfxx（2）求平均变化率:；00()limxffxx．（3）取极限，得导数:00()(),VtSt0()Kfx切例、将原油精练为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热。如果第时，原油的...