垂径定理 (2)VIP专享VIP免费

24.1.2垂直于弦的直径问题：你知道赵州桥吗？它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶。它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？O实践探究把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？圆是轴对称图形圆是轴对称图形,,任何一条直径所在直线任何一条直径所在直线都是它的对称轴都是它的对称轴..探究圆的性质探究圆的性质·OCD圆有无数条直径，所以圆有无数条对称轴如图，AB是⊙O的一条弦，做直径CD，使CD⊥AB，垂足为E．（1）图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？（2）你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？·OABCDE活动二（1）是轴对称图形．直径CD所在的直线是它的对称轴（2）线段：AE=BE弧:AC=BC,AD=BD⌒⌒⌒⌒把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，点A与点B重合，AE与BE重合，AC,AD分别与BC、BD重合．⌒⌒⌒⌒·OABCDE垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．⌒⌒即直径CD垂直于弦AB，平分弦AB,并且平分AB及ACB“知二推三”(1)垂直于弦(2)过圆心(3)平分弦(4)平分弦所对的优弧(5)平分弦所对的劣弧注意:当具备了(1)(3)时,应对另一条弦增加”不是直径”的限制.你可以写出相应的命题吗?相信自己是最棒的!垂径定理的推论•如图,在下列五个条件中:只要具备其中两个条件,就可推出其余三个结论.●OABCDM└①CD是直径,③AM=BM,②CDAB,⊥⌒⌒④AC=BC,⌒⌒⑤AD=BD.垂径定理及推论●OABCDM└条件结论命题①②③④⑤①③②④⑤①④②③⑤①⑤②③④②③①④⑤②④①③⑤②⑤①③④③④①②⑤③⑤①②④④⑤①②③垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧.平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧.弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的两条弧.垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,并且平分弦和所对的另一条弧.平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,垂直于弦,并且平分弦所对的另一条弧.平分弦所对的两条弧的直线经过圆心,并且垂直平分弦.EOABDCEABCDEOABDCOBAEEOABCEOCDAB练习在下列图形中，你能否利用垂径定理找到相等的线段或相等的圆弧一、判断是非：（1）平分弦的直径，平分这条弦所对的弧。（2）平分弦的直线，必定过圆心。（3）一条直线平分弦（这条弦不是直径），那么这条直线垂直这条弦。ABCDO(1)ABCDO(2)ABCDO(3)(4)弦的垂直平分线一定是圆的直径。（5）平分弧的直线，平分这条弧所对的弦。（6）弦垂直于直径，这条直径就被弦平分。ABCO(4)ABCDO(5)ABCDO(6)E（7）平分弦的直径垂直于弦填空：1、如图：已知AB是⊙O的直径，弦CD与AB相交于点E，若_____________________________________________________，则CE=DE（只需填写一个你认为适当的条件）2、如图：已知AB是⊙O的弦，OB=4cm，∠ABO=300，则O到AB的距离是___________cm，AB=_________cm.。OAEDCB。OAB第1题图第2题图ABCD⊥（或AC=AD，或BC=BD）24H选择：如图：在⊙O中，AB为直径，CD为非直径的弦，对于（1）ABCD⊥（2）AB平分CD（3）AB平分CD所对的弧。若以其中的一个为条件，另两个为结论构成三个命题，其中真命题的个数为（）A、3B、2C、1D、0。OCDBAA例题1：如图在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求圆0的半径。O·AB∟E赵州桥赵州桥·ABCD过点O作OC⊥AB于点D,交AB于点C,在Rt△ODA中，OA2=AD2+OD2即R2=18.72+(R-7.2)2解得R≈27.9O用AB表示主拱桥,设AB所在圆的圆心为O,半径为Rm解：则D是AB中点，C是AB的中点，CD就是拱高12AD=AB=18.7,OD=OC-CD=R-7.2如图AB=37.4,CD=7.2答：拱高所在圆的半径约约是27.9m。O·ABE变形2、CE=8,DE=2,则AB=。DC变形1、AB=8,CD=10,则圆心O到AB的距离是。变形3、CD=10,AB=8,则DE=。382若CD为圆O的直径，弦AB⊥CD于点E,∟垂径定理的应用——构建直角三角形·OABCRd2a半弦AC=半径OA=R弦心距O...