变化率与导数VIP免费

1.1.1变化率问题仅考虑一个量的变化是不够的。在某种经营中甲挣到10万元，乙挣到2万元，如何评价甲乙两人的经营成成果？甲用5年挣到10万元，乙用5个月挣到2万元，如何评价甲乙两人的经营成成果？1.变化率一个变量相对于另一个变量的变化而变化的快慢程度叫做变化率．问题1气球膨胀率我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?问题1气球膨胀率气球的体积V(单位:L)与半径r(单位:dm)之间的函数关系是34V(r)=πr3如果将半径r表示为体积V的函数,那么33Vr(V)=4π•当V从0增加到1时,气球半径增加了气球的平均膨胀率为•当V从1增加到2时,气球半径增加了气球的平均膨胀率为(1)(0)0.62()rrdm(1)(0)(/)100.62rrdmL(2)(1)0.16()rrdm(2)(1)(/)210.16rrdmL显然0.62>0.1633()4VrV分析一下:思考?当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率是多少?2121()()rVrVVV33()4VrV函数值的变化量自量变的变化量在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位：米)与起跳后的时间t（单位：秒)存在函数关系h(t)=-4.9t2+6.5t+10.hto问题2高台跳水如果用运动员在某段时间内的平均速度粗略地描述其运动状态,那么htoh(t)=-4.9t2+6.5t+10分析一下:•当t从0增加到0.5时,平均速度为(0.5)(0)4.05(/)0.50hhvms•当t从1增加到2时,平均速度为(2)(1)8.2(/)21hhvms思考?当时间从t1增加到t2时,运动员的平均平均速度是多少?2121()()hthttth(t)=-4.9t2+6.5t+10函数值的变化量自量变的变化量•若设Δx=x2－x1,Δy=f(x2)－f(x1)121)()fxxx2f(x一般的，函数f(x)在区间[x1,x2]上的平均变化率表示为：2.平均变化率的定义这里Δx是x1的一个“增量”：x2＝x1+Δx;Δy是ｆ(x1)的一个“增量”:f(x2)=f(x1)+Δy.则平均变化率为xxfxxfxxxfxfx111212)()(y观察函数f(x)的图象，平均变化率表示什么?2121()()fxfxyxxxOABxyY=f(x)x1x2f(x1)f(x2)x2-x1=x△f(x2)-f(x1)=y△割线AB的斜率思考?3.平均变化率的几何意义例1:设函数f(x)=2x,当ｘ从2变到1.9时,求△x和△y.解△x＝1.9－２＝0.1△y＝f(1.9)－f(2)＝－0.2(4)(2)42sssvt解(341)(321)32:)()31,24.sstttv例位移s(t)(单位:m)与时间t(单位的关系为:求从到的平均速度例3:求y=x2在x=x0附近的平均变化率.00()()解fxxfxyxx22000(xx)x=2xxx+△△△1、过y=x3上两点P（1，1)、Q(1+Δx,1+Δy)作割线，当Δx=2时,求(1)点Q的坐标;(2)Δy的值;(3)割线PQ的斜率.解(1)Q(3,27)，(3)13PQk练习(2)26y2、在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位：米)与起跳后的时间t（单位：秒)存在函数关系h(t)=-4.9t2+6.5t+10.练习当t从2变到2+△t时,求运动员的平均速度.小结：•1.函数的平均变化率Δf=Δy=f(x)-f(x);(2)计算1212)()(yxxxfxfx1212)()(yxxxfxfx作业P101,P112补充题、求y=1/x在x=x0附近的平均变化率.