四川省宣汉县第二中学高中数学《平面向量的数量积的物理背景及其含义》教案 新人教A版必修4VIP专享VIP免费

2.4.1平面向量的数量积的物理背景及其含义一、自主学习（一）复习（1）两个非零向量夹角的概念：已知非零向量与，作＝，＝，则___________（０≤θ≤π）叫与的夹角.说明：（1）当θ＝０时，与同向；（2）当θ＝π时，与反向；（3）当θ＝时，与垂直，记⊥；（4）注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的.范围是0≤≤180（2）两向量共线的判定定理________________________（3）力做的功：W=||||cos，是与的夹角.功是标量，力和位移是向量，功是由力和位移确定的，类比这种运算，我们引入“数量积”的概念。(二)、（预习教材103-105页）1．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量与，它们的夹角是θ，则数量_______________叫与的数量积，记作，即有_______________（其中０≤θ≤π）.并规定：向量与任何向量的数量积为0.探究：（1）、向量数量积是一个向量还是一个数量？它的符号什么时候为正？什么时候为负？（2）、两个向量的数量积与实数乘向量的积有什么区别？【平面向量数量积的几点说明】（1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos的符号所决定.（2）两个向量的数量积称为内积，写成；书写时要特别注意：.符号“”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替.（3）在实数中，若a0，且ab=0，则b=0；但是在数量积中，若，且=0，不能推出=因为其中cos有可能为0.（4）已知实数a、b、c(b0)，则ab=bca=c.但是==(5)在实数中，有(ab)c=a(bc)，但是()()显然，这是因为左端是与共线的向量，而右端是与共线的向量，而一般与不共线.2．“投影”的概念：作图定义：______________叫做向量在方向上的投影.投影是一个数量，不是向量；当为_____时投影为正值；当为____时投影为负值当为直角时投影为0；当=_____时投影为││；当=________时投影为││.3．向量的数量积的几何意义：数量积等于的长度与在方向上投影││cos的乘积.探究1、：两个向量的数量积的性质：设、为两个非零向量，1、=0,2、当与同向时，=||||；当与反向时，=||||.特别的=||21或,││≤||||,cos=探究2、：平面向量数量积的运算律（1）．交换律：=（2）．数乘结合律：()=()=()（3）．分配律：(+)=+说明：（1）一般地，(·)≠（·）（2）·＝·，≠＝（3）有如下常用性质：２＝｜｜２，（＋）（＋）＝·＋·＋·＋·二探究、讨论、展示例1．证明：①(＋)２＝２＋２·＋２②(＋)(-)=２-２例2．已知││=12，││=9，，求与的夹角θ。例3．已知││=6，││=4，与的夹角为60o求：（1）(+2)·(-3).（2）│+│与│-│.（利用）例4．已知││=3，││=4，且与不共线，k为何值时，向量+k与-k互相垂直.三、课堂练习：1．课后练习1、2、3、题2．已知││=8，││=10，│+│=16，与的夹角θ的余弦.四、课堂小结：1．平面向量的数量积及其几何意义；2．平面向量数量积的重要性质及运算律；3．向量垂直的条件.五、作业布置：习题2.4A组1、2、3、题2