【精品】高一数学 2.3函数的单调性（备课资料） 大纲人教版必修VIP免费

●备课资料一、函数单调性的判定方法1．定义法，即“作差——变形——定号——判断”四个步骤。2．图象法，即若f(x)在区间D上是增（减）函数，则图象在D上的部分从左到右是上升（下降）的。3．直接法，运用已知结论：①函数y=—f(x)与函数y=f(x)的单调性相反。②当f(x)恒为正或司为负时，函数y=)(1xf与y=f(x)的单调性相反。③在公共区间内，增函数+增函数=增函数，增函数一减函数=增函数等。二、参考例题[例1]求证：函数y=x+x1在[—1，0）或（0，1]上是单调递减函数，在（—∞，—1）或（1，+∞）上是单调递增函数。证明：（1）当—1≤x1＜x2＜0时，有0＜x1·x2＜1且x2-x1＞0,∴1—211xx＜0.∴f(x2)-f(x1)＜0.∴f(x1)＞f(x2).∴f(x)在[—1，0）上是单调递减函数。（2）当0＜x1＜x2≤1时，有0＜x1x2＜1，∴x2-x1＞0,1-211xx＜0.∴f(x2)-f(x1)＜0,即f(x1)＞f(x2).∴f(x)在(0,1]上是单调递减函数。（3）当x1＜x2＜-1时，有x1·x2＞1,且x2-x1＞0.∴21211xxxx＞0.∴f(x2)-f(x1)＞0.∴f(x2)＞f(x1).∴f(x)在（—∞,—1）上是单调递增函数。（4）当1＜x1＜x2时，有x1x2＞1,1-211xx＞0.又x2-x1＞0.∴f(x2)-f(x1)＞0.∴f(x2)＞f(x1).∴f(x)在（1，+∞）上是单调递增函数。[例2]判断函数f(x)=12xax(-1＜x＜1)的单调性。解：设—1＜x1＜x2＜1,网站：http://www.zbjy.cn论坛：http://bbs.zbjy.cn版权所有@中报教育网1则f(x1)-f(x2)=.)1)(1())(1(1122211221222211xxxxxxaxaxxax x1x2+1＞0,x2-x1＞0,x12-1＜0,x22-1＜0,∴f(x)在定义域区间（—1，1）上，当a＞0时，f(x)为减函数；当a＜0时，f(x)为增函数；当a=0时，f(x)为常数函数。备课资料参考例题[例1]求函数y=542xx的单调递增区间。解：由函数的定义域可知x∈[-1,5].又函数y=542xx是由u=g(x)=-x2+4x+5及y=f(u)=u复合而成的复合函数。 u=g(x)=-x2+4x+5在[-1，2]上是增函数，在[2，5]上是减函数，而y=f(u)=u在[0，+∞]上是增函数，∴函数y=542xx的单调递增区间是[-1，2]。[例2]若函数y=f(x)在R上是减函数，求y=f(|1-x|)的单调递增区间。解：设u=|1-x|=|x-1|,由函数u=|x-1|的图象可得，u在（-∞，1）上是减函数，而函数y=f(x)在R上是减函数，故y=f(|1-x|)的一个单调递增区间是（-∞，-1）。备课资料一、函数单调性的应用函数的单调性除一些理论上的应用外，它还可以灵活有效地解决我们现实生活中与之相关的实际问题。[例题]甲、乙两地相距skm，汽车从甲地匀速行驶到乙地，已知汽车每小时的运输成本（单位：元）由可变部分和固定部分组成，可变部分与速度x(km/h)的平方成正比，比例系数为a，固定部分为b元，请问，是不是汽车的行驶速度越快，其全程运输成本越小？如果不是，那么为了使全程运输成本最小，汽车应以多大的速度行驶？分析：根据汽车运输成本y元与行驶速度xkm/h之间的关系，建立函数模型，结合函数式的特点，运用函数有关知识去解决。解：设汽车运输成本为y元，依题意得汽车运输成本y与汽车行驶速度x之间的关系为：y=b·xsaxxs2.∴y=s(ax+xb)(其中x∈(0,+∞).即将此时的问题转化成：“函数y=s(ax+xb)是否随着x的不断增大而减小？当x取何值时，y取最小值？”下面讨论函数y=s(ax+xb)[x∈(0,+∞),a＞0,b＞0]在其定义域内的单调性。设x1，x2∈(0,+∞)，且x1＜x2，则网站：http://www.zbjy.cn论坛：http://bbs.zbjy.cn版权所有@中报教育网2f(x1)-f(x2)=s[(ax1+1xb)-(ax2+2xb)]=s[a(x1-x2)+2112)(xxxxb]=212121))((xxbxaxxxs=212121))((xxabxxxxas x1，x2＞0，且x1＜x2∴x1x2＞0，a(x1-x2)＜0∴当x1，x2∈(0,ab]时，x1x2＜ab，x1x2-ab＜0，∴f(x1)＞f(x2)，当x1，x2∈[ab，+∞)时，x1x2＞ab，x1x2-ab＞0，∴f(x1)＜f(x2).综上所述，我们看到函数y=s(ax+xb)(a＞0，b＞0)并不是整个区间（0，+∞）上是随着x的不断增大而减小的，而且由上述分析可看出当x=ab时，y取得最小值即ymin=2sab.那么，在这个实际问题当中可回答为：并不是汽车的行驶速度越快，其全程运输成本越小；并且为了使全程运输成本最小，汽车应以x=abkm/h的速度行驶。评述：（1）以上实际问题考查了学生灵活应用数学知识...