任意角的正弦函数、余弦函数的定义阜阳市第十中学§4.1任意角的正、余弦函数的定义一、基础达标1．有下列说法：①终边相同的角的同名三角函数的值相等；②终边不同的角的同名三角函数的值不等；③若sinα>0，则α是第一、二象限的角；④若α是第二象限的角，且P(x，y)是其终边上一点，则cosα＝－，其中正确的个数为()A．0B．1C．2D．32．已知角α的终边经过点(－4,3)，则cosα等于()A.B.C．－D．－3．角α的终边经过点P(－b,4)且cosα＝－，则b的值为()A．3B．－3C．±3D．54．当α为第二象限角时，－的值是()A．1B．0C．2D．－25．若θ为第一象限角，则能确定为正值的是()A．sinB．cosC．cos2－sin2D．cos2θ6．已知角α的终边上一点的坐标为，则角α的最小正值为()A.B.C.D.7．已知α终边经过点(3a－9，a＋2)，且sinα>0，cosα≤0，则a的取值范围为________．8．已知函数f(x)＝cos，x∈R，则f的值________．9．判断下列各式的符号：(1)sin340°cos265°；(2)(θ为第二象限角)．二、能力提升10．设角α的终边经过点(－6t，－8t)(t≠0)，则sinα－cosα的值是()A.B．－C．±D．不确定1任意角的正弦函数、余弦函数的定义阜阳市第十中学11．点P从(1,0)出发，沿单位圆x2＋y2＝1逆时针方向运动π弧长到达点Q，则点Q的坐标为()A.B.C.D.12．若角α的终边与直线y＝3x重合且sinα<0，又P(m，n)是α终边上一点，且|OP|＝，则m－n＝________.13．已知角α的终边与函数y＝x的图像重合，求α的正弦、余弦值．14．利用三角函数的定义证明：sin4α＋cos4α＝1－2sin2αcos2α.三、探究与创新15．已知cosα<0，sinα>0，(1)求角α的集合；(2)求角的终边所在的象限；(3)试判断sin，cos的符号．参考答案：1.答案B解析只有①正确．2.答案D解析因为角α的终边经过点(－4,3)，所以x＝－4，y＝3，r＝5，所以cosα＝＝－.3.答案A解析∵r＝，cosα＝＝＝－.∴b＝3.4.答案C2任意角的正弦函数、余弦函数的定义阜阳市第十中学解析∵α为第二象限角，∴sinα>0，cosα<0.∴－＝－＝2.5.答案C解析∵θ为第一象限角，∴2kπ<θ<2kπ＋，k∈Z.∴kπ<
0，cos>0，且<当k＝2n＋1(n∈Z)时，2nπ＋π<<2nπ＋(n∈Z)．∴为第三象限角，∴sin<0，cos<0，且<，从而cos2－sin2>0.而4kπ<2θ<4kπ＋π，k∈Z，cos2θ有可能取负值．6.答案D解析∵sinπ＝，cosπ＝－.∴角α的终边在第四象限，∴角α的最小正角为2π－＝.7.答案(－2,3]解析∵sinα>0，cosα≤0，∴α位于第二象限或y轴正半轴上，∴3a－9≤0，a＋2>0，∴－20.(2)∵θ为第二象限角，∴0＜sinθ＜1＜，－＜－1＜cosθ＜0，∴sin(cosθ)＜0，cos(sinθ)＞0，∴＜0.10.答案C解析当t>0时，r＝10|t|＝10t.sinα＝－，cosα＝－，sinα－cosα＝－.3任意角的正弦函数、余弦函数的定义阜阳市第十中学当t<0时，r＝10|t|＝－10t.sinα＝，cosα＝，sinα－cosα＝.11.答案A解析由题意知：∠xOQ＝π，又|OQ|＝1，由三角函数的定义知：xQ＝cosπ＝－，yQ＝sinπ＝.12.答案2解析∵y＝3x，sinα<0，∴点P(m，n)位于y＝3x在第三象限的图像上，且m<0，n<0，n＝3m.∴|OP|＝＝|m|＝－m＝.∴m＝－1，n＝－3，∴m－n＝2.13.解函数y＝x的图像是过原点和第一、三象限的直线，因此α的终边在第一或第三象限．(1)当α终边落在第一象限时，在终边上取点P(2,3)，则r＝＝于是，sinα＝＝，cosα＝＝(2)当α终边落在第三象限时，在终边上取点P(－2，－3)则r＝＝，于是sinα＝＝－cosα＝＝－14.证明设任意角α终边上任一点坐标为(x，y)，且r＝>0，根据任意角正弦函数、余弦函数的定义可知sinα＝，cosα＝，∴左边＝sin4α＋cos4α＝＋＝＝＝＝－2··＝1－2sin2αcos2α＝右边．即sin4α＋cos4α＝1－2sin2αcos2α.15.解(1)∵cosα<0，∴角α的终边可能位于第二或第三象限或x轴的非正半轴上．∵sinα>0，∴角α的终边可能位于第一或第二象限或y轴非负半轴上，∴角α的终边只能位于第二象限．故角α的集合为{α|＋2kπ<α<π＋2kπ，k∈Z}．(2)∵＋2kπ<α<π＋2kπ(k∈Z)，∴＋kπ<<＋kπ(k∈Z)．当k＝2n(k∈Z)时，＋2nπ<<＋2nπ(n∈Z)，4任意角的正弦函数、余弦函数的定义阜阳市第十中学∴是第一象限角；当k＝2n＋1(n∈Z)时，＋2nπ<<＋2nπ(n∈Z)，∴是第三象限角．即的终边落在第一象限或第三象限．(3)由(2)可知，当是第一象限角时，sin>0，cos>0；当是第三象限角时，sin<0，cos<0.5
