专题2.5正弦定理和余弦定理的应用一、问题的提出高考试卷对正弦定理和余弦定理的考查一直是重点、热点，基础题型是通过边角转化后与三角恒等变换的结合，难点题目是与基本不等式及其他知识点的结合，本文从多角度分析其应用，希望能给学生带来启发。二、问题的探源1．正弦定理(1)正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即＝＝＝2R．其中R是三角形外接圆的半径．(2)正弦定理的其他形式：①a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；②sinA＝，sinB＝，sinC＝；③a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC2．余弦定理(1)余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍．即a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝c2＋a2－2cacosB，c2＝.若令C＝90°，则c2＝，即为勾股定理．(2)余弦定理的推论：cosA＝，cosB＝，cosC＝三、问题的佐证1.判断三角形解的个数问题例1.△中，已知，，，如果△有两组解，则的取值范围（）A.B.C.D.【答案】D∴利用正弦函数的图象可得：60°＜A＜120°，若A=90，这样补角也是90°，一解，不合题意，＜sinA＜1， x=sinA，则2＜x＜故选D．2．三角形的面积问题例2.已知，角的对边分别为，，，，则的面积为()A.B.C.D.【答案】D【解析】由，化简可得，得，即由正弦定理：可得的面积故选D．【评注】三角形的面积公式为三角形面积公式S△＝absinC＝bcsinA＝acsinB，一般情况根据已知哪个角，选哪个面积为宜．三角形面积问题经常与余弦定理结合考查.例3.在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且＝－.(1)求B的大小；(2)若b＝，a＋c＝4，求△ABC的面积．解：(1)由余弦定理知，cosB＝，cosC＝，将上式代入＝－得·＝－，整理得a2＋c2－b2＝－ac.∴cosB＝＝＝－. B为三角形的内角，∴B＝π.(2)将b＝，a＋c＝4，B＝π代入b2＝a2＋c2－2accosB，得13＝42－2ac－2accosπ，解得ac＝3.∴S△ABC＝acsinB＝.【评注】①根据所给等式的结构特点利用余弦定理将角化边进行变形是迅速解答本题的关键．②熟练运用余弦定理及其推论，同时还要注意整体思想、方程思想在解题过程中的运用．3.判断三角形形状问题例4.在中，若则的形状一定是（）A.等腰直角三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.等边三角形【答案】B【解析】因为2cosBsinA＝sinC，所以2×·a＝c，所以a＝b，所以△ABC为等腰三角形．4.边角转化问题例5.已知的内角，，的对边分别为，，，若，则____________．【答案】点睛：本题主要考查了解三角形的综合应用问题，其中解答中涉及正弦定理、同角三角函数基本关系式，两角和差的正切公式、诱导公式等知识点的综合运用，着重考查了学生推理能力和运算能力，试题有一定的综合性，属于中档试题，解答中利用正弦定理，求得的值是解答的关键．四、问题的解决1．在△中，若，，，则△的面积为（）A.B.或C.D.或【答案】D2.在中，内角的对边分别为，若，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】因为所以化简得故选D3．在锐角中，角，，对应的边分别是、、，向量，，且，则的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】因为△ABC是锐角三角形，所以由正弦定理，可得：本题选择B选项.4．在中，，的最大值是（）A.1B.2C.3D.4【答案】A【解析】因为，所以，因为，所以，，所以当时，取最大值1。故选A。5．在中，角，，的对边分别为，，，且，，这个三角形的面积为，则外接圆的直径是（）A.B.C.D.【答案】D6．在中，角，，的对边分别为，，，且，，，则（）A.或B.C.D.或【答案】A7．在△ABC中，，则这个三角形一定是()A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角D.等腰或直角三角形【答案】A【解析】在△ABC中，，由正弦定理可得：，即.又.所以，即.有.所以△ABC为等腰三角形.故选A.8．钝角三角形的三边为，，，其最大角不超过，则的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】钝角三角形的三边分别是a，a+1，a+2，其最大内角不超过120°，∴，解得，故选B．9．已知的面积为，，，则()A.B.C.D.【答案】A10．在中，分别为内角的对边，且，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】由余弦定理可得：又∴即又，∴∴故选：B11．若为钝角三角形，三边长分别为，则的取值范围是（）A...
