课后限时集训(四十六)(建议用时：60分钟)A组基础达标一、选择题1．抛物线y＝ax2的准线方程是y＝1，则a的值为()A.B．－C．4D．－4B[由y＝ax2，变形得x2＝y＝2×y，∴p＝.又抛物线的准线方程是y＝1，∴－＝1，解得a＝－.]2．若动点M(x，y)到点F(4,0)的距离比它到直线x＝－5的距离小1，则点M的轨迹方程是()A．x＝－4B．x＝4C．y2＝8xD．y2＝16xD[依题意可知点M到点F的距离等于点M到直线x＝－4的距离，因此点M的轨迹是抛物线，且顶点在原点，焦点在x轴正半轴上，p＝8，∴点M的轨迹的方程为y2＝16x，故选D.]3．已知AB是抛物线y2＝8x的一条焦点弦，|AB|＝16，则AB中点C的横坐标是()A．3B．4C．6D．86[设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝x1＋x2＋p＝16，又p＝4，所以x1＋x2＝12，所以点C的横坐标是＝6.]4．以x轴为对称轴，原点为顶点的抛物线上的一点P(1，m)到焦点的距离为4，则抛物线的方程是()A．y＝4x2B．y＝12x2C．y2＝6xD．y2＝12xD[设抛物线方程为y2＝2px(p＞0)，则准线方程为x＝－，由题知1＋＝4，∴p＝6，∴抛物线方程为y2＝12x，故选D.]5．(2019·湖北荆州模拟)从抛物线y2＝4x在第一象限内的一点P引抛物线准线的垂线，垂足为M，且|PM|＝9，设抛物线的焦点为F，则直线PF的斜率为()A.B.C.D.C[设P(x0，y0)，由抛物线y2＝4x，可知其焦点F的坐标为(1,0)，故|PM|＝x0＋1＝9，解得x0＝8，故P点坐标为(8,4)，所以kPF＝＝.]二、填空题6．(2019·泰安期末)若抛物线x2＝4y上的点A到焦点的距离为10，则点A到x轴的距离是________．9[根据题意，抛物线x2＝4y的准线方程为y＝－1，点A到准线的距离为10，故点A到x轴的距离是9.]7．(2019·营口期末)直线y＝k(x－1)与抛物线y2＝4x交于A，B两点，若|AB|＝，则k＝________.±[设A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为直线AB经过抛物线y2＝4x的焦点，所以|AB|＝x1＋x2＋2＝，所以x1＋x2＝.联立得到k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，所以x1＋x2＝＝，所以k＝±.]8．(2018·北京高考)已知直线l过点(1,0)且垂直于x轴，若l被抛物线y2＝4ax截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为________．(1,0)[由题知直线l的方程为x＝1，则直线与抛物线的交点为(1，±2)(a>0)．又直线被抛物线截得的线段长为4，所以4＝4，即a＝1.所以抛物线的焦点坐标为(1,0)．]1三、解答题9．(2019·襄阳模拟)已知点F，M(0,4)，动点P到点F的距离与到直线y＝－的距离相等．(1)求点P的轨迹方程；(2)是否存在定直线y＝a，使得以PM为直径的圆与直线y＝a的相交弦长为定值？若存在，求出定直线方程，若不存在，请说明理由．[解](1)设P(x，y)，由题意得＝，化简得y＝x2.∴点P的轨迹方程为x2＝y.(2)假设存在定直线y＝a，使得以PM为直径的圆与直线y＝a的相交弦长为定值，设P(t，t2)，则以PM为直径的圆方程为2＋2＝，∴以PM为直径的圆与直线y＝a的相交弦长为l＝2＝2若a为常数，则对于任意实数y，l为定值的条件是a－＝0，即a＝时，l＝.∴存在定直线y＝，以PM为直径的圆与直线y＝的相交弦长为定值．10．如图，已知点F为抛物线E：y2＝2px(p＞0)的焦点，点A(2，m)在抛物线E上，且|AF|＝3.(1)求抛物线E的方程；(2)已知点G(－1,0)，延长AF交抛物线E于点B，证明：GF为∠AGB的平分线．[解](1)由抛物线定义可得|AF|＝2＋＝3，解得p＝2.∴抛物线E的方程为y2＝4x.(2)证明： 点A(2，m)在抛物线E上，∴m2＝4×2，解得m＝±2，由抛物线的对称性，不妨设A(2,2)，由A(2,2)，F(1,0)，∴直线AF的方程为y＝2(x－1)，由得2x2－5x＋2＝0，解得x＝2或，∴B.又G(－1,0)，∴kGA＝，kGB＝－，∴kGA＋kGB＝0，∴∠AGF＝∠BGF.∴GF为∠AGB的平分线．B组能力提升1．(2019·鸡西模拟)已知圆C：x2＋y2＋6x＋8y＋21＝0，抛物线y2＝8x的准线为l.设抛物线上任意一点P到直线l的距离为m，则m＋|PC|的最小值为()A．5B.C.－2D．4B[由题意得，圆C的圆心坐标为(－3，－4)，抛物线的焦点为F(2,0)．根据抛物线的定义，得m＋|PC|＝|PF|＋|PC|≥|FC|＝.]2．(2019·长春模拟)过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F且倾斜角为120°的直线l与抛物2线在第一、四象限分别交于A、B两点，则的值等于()A.B.C.D.A[设A(x1，y1)，B(x2，y2)，|AB|＝x1＋x2＋p＝＝，所以x1＋x2＝.又x1x2...
