四弦切角的性质一、基础达标1.已知，如图，PA切⊙O于点A，BC是⊙O的直径，BC的延长线交AP于P，AE⊥BP交⊙O于E，则图中与∠CAP相等的角的个数是()A.1B.2C.3D.4解析如图所示，连接OA，OE，则△AOE为等腰三角形.∵OC⊥AE，∴OC垂直平分AE，∴△ACE为等腰三角形，∴∠EAC＝∠AEC＝∠CAP＝∠ABP.答案C2.如图所示，已知⊙O的直径AB与弦AC的夹角为35°，过C点的切线PC与AB的延长线交于点P，则∠P等于()A.15°B.20°C.25°D.30°解析如图，连接BC，∵PC是⊙O的切线，∴∠PCB＝∠CAB＝35°.又∠PBC＝∠CAB＋∠ACB＝35°＋90°＝125°，∴∠P＝180°－125°－35°＝20°.答案B3.如图，AB是⊙O的直径，EF切⊙O于C，AD⊥EF于D，AD＝2，AB＝6，则AC的长为()A.2B.3C.2D.4解析如图，连接BC，由AB是直径，得AC⊥BC，由弦切角定理可知，∠ACD＝∠ABC，∴△ABC∽△ACD，∴＝，∴AC2＝AB·AD＝6×2＝12，∴AC＝2.答案C4.如图所示，已知AB和AC分别是⊙O的弦和切线，A为切点，AD为∠BAC的平分线，且交⊙O于D，BD的延长线与AC交于C，AC＝6，AD＝5，则CD＝________.解析由AC为切线，得∠CAD＝∠B.由题意知∠CAD＝∠BAD，∴∠DAB＝∠B，∴AD＝BD＝5.又∠CAD＝∠B，∠C＝∠C，∴△ACD∽△BCA，∴＝，即CD·BC＝AC2，∴CD·(BD＋CD)＝AC2，即CD·(5＋CD)＝36，解得CD＝4(负值舍去).答案45.如图所示，AB，AC是⊙O的两条切线，切点分别为B，C，D是优弧BC上的点，已知∠BAC＝80°，那么∠BDC＝________.解析连接OB，OC，则OB⊥AB，OC⊥AC，∴∠BOC＝180°－∠BAC＝100°，∴∠BDC＝∠BOC＝50°.1答案50°6.如图所示，已知圆上的弧AC＝BD，过C点的圆的切线与BA的延长线交于点E，求证：(1)∠ACE＝∠BCD；(2)BC2＝BE·CD.证明(1)因为AC＝BD，所以∠BCD＝∠ABC.又因为EC与圆相切于点C，故∠ACE＝∠ABC，所以∠ACE＝∠BCD.(2)因为∠ECB＝∠CDB，∠EBC＝∠BCD，所以△BDC∽△ECB，故＝，即BC2＝BE·CD.二、能力提升7.如图所示，PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，C是AB上的一点，已知⊙O半径为r，PO＝2r，设∠PAC＋∠PBC＝α，∠APB＝β.则α，β的大小关系是()A.α>βB.α＝βC.α<βD.不能确定解析如图，连接OA，OB，则OA⊥PA，又∵PO＝2r＝2OA，∴∠APO＝30°，∴β＝∠APB＝60°，∴∠POA＝∠POB＝60°，又∵α＝∠PAC＋∠PBC＝∠AOB＝60°，∴α＝β.答案B8.如图，圆O的直径AB＝6，C为圆周上一点，BC＝3，过C作圆的切线l，过A作l的垂线AD，垂足为点D，则线段CD的长为________.解析因为圆O的直径AB＝6，C为圆周上一点，则AC⊥BC，从而cos∠CBA＝＝.又因为l是圆O的切线，由弦切角定理得∠DCA＝∠CBA，从而cos∠DCA＝cos∠CBA＝.又因为AD⊥CD，所以CD＝AC·cos∠DCA＝×＝.答案9.如图，已知PA是圆O(O为圆心)的切线，切点为A，PO交圆O于B，C两点，AC＝，∠PAB＝30°，则线段PB的长为________.解析如图，连接OA，又PA为⊙O切线，∴∠OAP＝90°，∠C＝∠PAB＝30°，∴∠OBA＝∠OAB＝60°，∴∠P＝∠PAB＝30°，∴PB＝AB.2又AC＝，BC为⊙O直径，∴∠CAB＝90°，∴AB＝1，∴PB＝1.答案110.如图，AD是△ABC的角平分线，经过点A，D的⊙O和BC切于D，且与AB，AC相交于E，F.求证：EF∥BC.证明如图所示，连接DF.∵DC是⊙O的切线，∴∠4＝∠2.又∵AD平分∠BAC，∴∠1＝∠2，∴∠4＝∠1.又由圆周角定理得∠1＝∠3，∴∠3＝∠4，∴EF∥BC.11.如图，AB为⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于E，AD垂直CD于D，BC垂直CD于C，EF垂直AB于F，连接AE，BE.证明(1)∠FEB＝∠CEB；(2)EF2＝AD·BC.证明(1)由直线CD与⊙O相切，得∠CEB＝∠EAB.由AB为⊙O的直径，得AE⊥EB，从而∠EAB＋∠EBF＝；又EF⊥AB，得∠FEB＋∠EBF＝.从而∠FEB＝∠EAB.故∠FEB＝∠CEB.(2)由BC⊥CE，EF⊥AB，∠FEB＝∠CEB，BE是公共边，得Rt△BCE≌Rt△BFE，所以BC＝BF.类似可证Rt△ADE≌Rt△AFE，得AD＝AF.又在Rt△AEB中，EF⊥AB，故EF2＝AF·BF，所以EF2＝AD·BC.三、探究与创新12.如图所示，点P在⊙O外，PC是⊙O的切线，切点为C，直线PO与⊙O相交于A，B两点.(1)探索∠BCP与∠P的关系；(2)若∠A＝30°，则PB与PA有什么关系？(3)∠A可能等于45°吗？为什么？解(1)∵PC为⊙O的切线，∴∠BCP＝∠A.3在△PCA中，∠A＋∠P＋∠ACB＋∠BCP＝180°，又∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠BCP＝.(2)若∠A＝30°，则∠BCP＝∠A＝30°，∴∠P＝30°.∴PB＝BC，BC＝AB，∴PB＝PA，即PA＝3PB.(3)∠A不可能等于45°.理由如下：设∠A＝45°，如图(2)所示，则∠B＝45°，∠BCP＝45°，∴CP∥AB，与题干中PC与AB交于点P矛盾，∴∠A不可能等于45°.4
