正余弦定理面面观玉邴图正弦定理和余弦定理是中学数学中非常重要的三角公式，它们具有广泛的应用，与它们有关的问题是各类考试的热点。在学习中，值得我们总结与研究。为此，本文研究它的一些变式及其应用，供同学们学习参考。一、正余弦定理正弦定理余弦定理二、正余弦定理的变化定理：设三角形ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，则有（1）由于三角形中三条边及三个内角的对称性，以上只给出了三个类似关系式中的一个，并证明如下：证明：（1）由正弦定理及和差化积公式得（2）由正弦定理、三角形内角和定理、倍角公式及和差化积公式得（3）因为，故由余弦定理及有关三角公式得故用心爱心专心115号编辑（4）由正弦定理得（5）由正、余弦定理得化简即得（6）由余弦定理得，化简得三、推论的应用正余弦定理的应用是大家都知道的，它们的推论也具有广泛的应用，下面列举数例说明。例1（希望杯赛题）在三角形ABC中，求证证明：当三角形ABC是钝角或直角三角形时，结论显然成立。当三角形ABC是锐角三角形时，由定理（1）得三式相乘得例2（全国高考题）在三角形ABC中，设，求解：由题设及定理（2）得从而得。所以例3（海淀区高考模拟题）在三角形ABC中，已知A＝60°，a＝10，求bc的最大值。解：由定理（3）得，故例4（北京春季高考题）在三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c。证明解：由定理（4）及正弦平方差公式（课本习题）得例5（全国高考题）求的值。用心爱心专心115号编辑解：构造三角形ABC，使A＝20°，B＝40°，C＝120°。应用定理（5）得例6（全国高考题）已知是锐角，且求证证明：由及降次公式得即和均为锐角。又由得。构造三角形ABC，使则由正弦定理得：由定理（6）得所以AB＝AC，即知三角形ABC是等腰三角形，故C＝B＝。由三角形内角和定理知用心爱心专心115号编辑
