高中数学运用转化思想求递推数列的通项学法指导杨康义求递推数列的通项,在近几年高考中凸显地位,这类试题的求解,多是运用转化思想,将所给递推数列转化为等差数列、等比数列或其他特殊数列,下面笔者就几种常见类型举几例高考试题,并对其解法进行探讨、总结。例1.数列中(c是常数,),且成公比不为1的等比数列。(1)求c的值;(2)求的通项公式。解:(1)因为成等比数列,所以解得或。当时,,不符合题意舍去。故。(2)当时,由于,相加得故因为当n=1时,上式也成立,所以解法总结:形如,其中是可求和的数列,可采用累加法求得通项公式,即。同理形如,其中是可求积的数列,可采用累乘法求得通项公式,即例2.设数列的首项,求的通项公式。解:由整理得,又,所以是首项为,公比为的等比数列,,即解法总结:求形如(p,q是常数,且)的通项,可考虑待定系数法,即转化为从而构造为等比数列,展开后比较两式系数易得例3.设数列的前n项和,求首项和通项。解:由得所以又两式相减得,整理得,转化为:所以是首项为,公比为4的等比数列,即,因而解法总结:形如(p,q是常数,且)求通项,可考虑两种思路,其一是设,展开与原式比较得,当时,用心爱心专心116号编辑其二是将两边同除得,令有转化为例2的情形。第二种思路是运用转化思想向已有知识转化,比较常见。例4.已知数列中,,(1)求的通项公式;(2)若数列中,,证明:解:(1)仿例2易得,则(2)由易得故数列是以首项为,公比为的等比数列,所以,即又,所以下面用分析法证明由于,要证,只需证,即证即证即证即证因为,所以上式成立,从而成立。综上可得,成立。解法总结:涉及到形如(a,b,c,d为常数,)的递推数列求通项问题,从解答中看,转化法技巧性较强,似乎难以捉摸。其实由求有如下方法:首先我们解不动点方程。若方程有两不等根,则必为等差数列;若方程有两相等根,则必为等比数列。从以上选讲的几道高考题可见,递推数列的考查已到一定层次,类型也日见复杂。几种常见的递推数列:等均有考查。上述解法都运用了转化思想,将未知向已知转化,将复杂向简单转化,笔者对常见类型的解法作了归纳总结。转化法对能力有较高的要求,需要同学们多见多练,善于总结,方能熟练。(责任编辑朱宁)用心爱心专心116号编辑