难点题型拔高练(五)1．函数f(x)＝2sin(ω＞0)的图象在[0,1]上恰有两个极大值点，则ω的取值范围为()A．[2π，4π]B.C.D.解析：选C法一：由函数f(x)在[0,1]上恰有两个极大值点，及正弦函数的图象可知ω＋∈，则≤ω＜.法二：取ω＝2π，则f(x)＝2sin，由2πx＋＝＋2kπ，k∈Z，得x＝＋k，k∈Z，则在[0,1]上只有x＝，不满足题意，排除A、B、D，故选C.2．过点P(2，－1)作抛物线x2＝4y的两条切线，切点分别为A，B，PA，PB分别交x轴于E，M两点，O为坐标原点，则△PEM与△OAB的面积的比值为()A.B.C.D.解析：选C设A(x1，y1)，B(x2，y2)，不妨令x1＜x2，则y1＝，y2＝，由y＝x2得y′＝x，则直线PA的方程为y－y1＝x1(x－x1)，即y－＝x1(x－x1)，则E，将P(2，－1)代入得x1－y1＋1＝0，同理可得直线PB的方程为x2－y2＋1＝0，M，∴直线AB的方程为x－y＋1＝0，则AB过定点F(0,1)，S△AOB＝|OF|(x2－x1)＝(x2－x1)，S△PEM＝×1×＝(x2－x1)，∴＝.3．在四面体ABCD中，AD＝DB＝AC＝CB＝1，则当四面体的体积最大时，它的外接球半径R＝________.解析：当平面ADC与平面BCD垂直时，四面体ABCD的体积最大，因为AD＝AC＝1，所以可设等腰三角形ACD的底边CD＝2x，高为h，则x2＋h2＝1，此时四面体的体积V＝××2x×h2＝x(1－x2)，则V′＝－x2，令V′＝0，得x＝，从而h＝，则CD＝AB＝，故可将四面体ABCD放入长、宽、高分别为a，b，c的长方体中，如图，则解得a2＝c2＝，b2＝，则长方体的体对角线即四面体ABCD的外接球直径，(2R)2＝a2＋b2＋c2＝，R＝.答案：4．已知椭圆Γ∶＋＝1，过点P(1,1)作斜率互为相反数的两条不同直线l1，l2，设l1与椭圆Γ交于A，B两点，l2与椭圆Γ交于C，D两点．(1)若P(1,1)为AB的中点，求直线l1的方程；(2)记λ＝，求λ的取值范围．解：(1)易知直线l1的斜率存在且不为0，设直线AB的斜率为k，则其方程为y－1＝k(x－1)，代入x2＋2y2＝4中，得x2＋2[kx－(k－1)]2－4＝0，∴(1＋2k2)x2－4k(k－1)x＋2(k－1)2－4＝0.判别式Δ＝[4(k－1)k]2－4(2k2＋1)[2(k－1)2－4]＝8(3k2＋2k＋1)＞0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则∵AB的中点为P(1,1)，∴(x1＋x2)＝＝1，则k＝－.∴直线l1的方程为y－1＝－(x－1)，即x＋2y－3＝0.(2)由(1)知|AB|＝|x1－x2|＝＝.由题可得直线l2的方程为y－1＝－k(x－1)(k≠0)，同理可得|CD|＝，∴λ＝＝(k≠0)，∴λ2＝1＋＝1＋.令t＝3k＋，则g(t)＝1＋，t∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)．易知g(t)在(－∞，－2]，[2，＋∞)上单调递减，∴2－≤g(t)＜1或1＜g(t)≤2＋，故2－≤λ2＜1或1＜λ2≤2＋，即λ∈∪.5．已知函数f(x)＝xex－a(lnx＋x)，a∈R.(1)当a＝e时，判断f(x)的单调性；(2)若f(x)有两个零点，求实数a的取值范围．解：(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，当a＝e时，f′(x)＝，令f′(x)＝0，得x＝1，∴f(x)在(0,1)上为减函数；在(1，＋∞)上为增函数．(2)记t＝lnx＋x，则t＝lnx＋x在(0，＋∞)上单调递增，且t∈R.∴f(x)＝xex－a(lnx＋x)＝et－at，令g(t)＝et－at.∴f(x)在x＞0上有两个零点等价于g(t)＝et－at在t∈R上有两个零点．①当a＝0时，g(t)＝et，在R上单调递增，且g(t)＞0，故g(t)无零点；②当a＜0时，g′(t)＝et－a＞0，g(t)在R上单调递增，又g(0)＝1＞0，g＝e－1＜0，故g(t)在R上只有一个零点；③当a＞0时，由g′(t)＝et－a＝0可知g(t)在t＝lna时有唯一的一个极小值g(lna)＝a(1－lna)．若0＜a＜e，g(t)极小值＝a(1－lna)＞0，g(t)无零点；若a＝e，g(t)极小值＝0，g(t)只有一个零点；若a＞e，g(t)极小值＝a(1－lna)＜0，而g(0)＝1＞0，由y＝在x＞e时为减函数，可知当a＞e时，ea＞ae＞a2，从而g(a)＝ea－a2＞0，∴g(x)在(0，lna)和(lna，＋∞)上各有一个零点．综上，当a＞e时，f(x)有两个零点，即实数a的取值范围是(e，＋∞)．
