专练58高考大题专练(七)极坐标与参数方程1．[2020·全国卷Ⅰ][选修4－4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(t为参数)．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为4ρcosθ－16ρsinθ＋3＝0.(1)当k＝1时，C1是什么曲线？(2)当k＝4时，求C1与C2的公共点的直角坐标．2．在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为y＝k|x|＋2.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2＋2ρcosθ－3＝0.(1)求C2的直角坐标方程；(2)若C1与C2有且仅有三个公共点，求C1的方程．3.[2019·全国卷Ⅱ]在极坐标系中，O为极点，点M(ρ0，θ0)(ρ0>0)在曲线C：ρ＝4sinθ上，直线l过点A(4,0)且与OM垂直，垂足为P.(1)当θ0＝时，求ρ0及l的极坐标方程；(2)当M在C上运动且P在线段OM上时，求P点轨迹的极坐标方程．4．[2020·全国卷Ⅱ][选修4－4：坐标系与参数方程]已知曲线C1，C2的参数方程分别为C1：(θ为参数)，C2：(t为参数)．(1)将C1，C2的参数方程化为普通方程；(2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．设C1，C2的交点为P，求圆心在极轴上，且经过极点和P的圆的极坐标方程．5．[2020·合肥一中高三测试]在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴)中，圆C的方程为ρ＝2sinθ.(1)求圆C的圆心到直线l的距离；(2)设圆C与直线l交于点A，B.若点P的坐标为(3，)，求|PA|＋|PB|.专练58高考大题专练(七)极坐标与参数方程1.解析：(1)当k＝1时，C1：消去参数t得x2＋y2＝1，故曲线C1是圆心为坐标原点，半径为1的圆．(2)当k＝4时，C1：消去参数t得C1的普通方程为＋＝1.C2的直角坐标方程为4x－16y＋3＝0.由解得故C1与C2的公共点的直角坐标为.2．解析：(1)由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ得C2的直角坐标方程为(x＋1)2＋y2＝4.(2)由(1)知C2是圆心为A(－1,0)，半径为2的圆．由题设知，C1是过点B(0,2)且关于y轴对称的两条射线．记y轴右边的射线为l1，y轴左边的射线为l2.由于点B在圆C2的外面，故C1与C2有且仅有三个公共点等价于l1与C2只有一个公共点且l2与C2有两个公共点，或l2与C2只有一个公共点且l1与C2有两个公共点．当l1与C2只有一个公共点时，A到l1所在直线的距离为2，所以＝2，故k＝－或k＝0.经检验，当k＝0时，l1与C2没有公共点；当k＝－时，l1与C2只有一个公共点，l2与C2有两个公共点．当l2与C2只有一个公共点时，A到l2所在直线的距离为2，所以＝2，故k＝0或k＝.经检验，当k＝0时，l1与C2没有公共点；当k＝时，l2与C2没有公共点．综上，所求C1的方程为y＝－|x|＋2.3．解析：本题主要考查了极坐标的概念和求极坐标方程的基本方法，考查了数学运算能力和数形结合的思想方法，主要体现了直观想象和数学运算的核心素养．(1)因为M(ρ0，θ0)在C上，当θ0＝时，ρ0＝4sin＝2.由已知得|OP|＝|OA|cos＝2.设Q(ρ，θ)为l上除P的任意一点．在Rt△OPQ中，ρcos＝|OP|＝2.经检验，点P在曲线ρcos＝2上．所以，l的极坐标方程为ρcos＝2.(2)设P(ρ，θ)，在Rt△OAP中，|OP|＝|OA|cosθ＝4cosθ，即ρ＝4cosθ.因为P在线段OM上，且AP⊥OM，故θ的取值范围是.所以，P点轨迹的极坐标方程为ρ＝4cosθ，θ∈.4．解析：(1)C1的普通方程为x＋y＝4(0≤x≤4)．由C2的参数方程得x2＝t2＋＋2，y2＝t2＋－2，所以x2－y2＝4.故C2的普通方程为x2－y2＝4.(2)由得所以P的直角坐标为.设所求圆的圆心的直角坐标为(x0,0)，由题意得x＝2＋，解得x0＝.因此，所求圆的极坐标方程为ρ＝cosθ.5．解析：(1)由ρ＝2sinθ，可得x2＋y2－2y＝0，即圆C的直角坐标方程为x2＋(y－)2＝5.由可得直线l的普通方程为x＋y－－3＝0.所以圆C的圆心(0，)到直线l的距离为＝.(2)将l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得2＋2＝5，即t2－3t＋4＝0.(*)由于Δ＝(－3)2－4×4＝2>0.故可设t1，t2是方程(*)的两个实根，所以又直线l过点P(3，)，故由上式及t的几何意义得|PA|＋|PB|＝|t1|＋|t2|＝t1＋t2＝3.
