第二讲同角三角函数一．同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1.(2)商数关系：＝tanα.二．同角三角函数基本关系式的变形(1)sin2α＋cos2α＝1的变形公式：sin2α＝1－cos2α；cos2α＝1－sin2α；(2)tanα＝的变形公式：sinα＝cos_αtan_α；cosα＝.【修炼套路】---为君聊赋《今日诗》，努力请从今日始考向一同角三角函数简单计算【例1】（1）已知α是第四象限角，sinα＝－，则tanα＝.（2）已知tanα＝，且α是第三象限角，求sinα，cosα的值．【答案】（1）－(2)见解析【解析】（1）因为α是第四象限角，sinα＝－，所以cosα＝＝，故tanα＝＝－.（2）由tanα＝＝，得sinα＝cosα①又sin2α＋cos2α＝1②由①②得cos2α＋cos2α＝1，即cos2α＝.又α是第三象限角，∴cosα＝－，sinα＝cosα＝－.【套路秘籍】---千里之行始于足下【套路总结】（1）利用sin2α＋cos2α＝1可实现正弦、余弦的互化，开方时要根据角α所在象限确定符号；（2）利用＝tanα可以实现角α的弦切互化．【举一反三】1．已知，且，那么A．−√33B．−√63C．√63D．【答案】B【解析】因为，>0，故即，又，解得：−√63故选：B2．已知sinθ=a−11+a,cosθ=−a1+a，若θ是第二象限角，则tanθ的值为A．−12B．−2C．−34D．−43【答案】C【解析】由sin2θ+cos2θ=1，得：(a−11+a)2+(a1+a)2=1，化简，得：a2−4a=0，因为θ是第二象限角，所以，a=4，tanθ=sinθcosθ=a−11+a×(−1+aa)＝1−aa=1a−1＝−34，故选C.3．已知向量⃑a=(❑√2，−❑√2)，⃑b=(cosα，sinα)，且⃑a∥⃑b，则tanα的值为__________．【答案】-1【解析】因为⃑a∥⃑b，所以❑√2sinα−(−❑√2)cosα=0，解得tanα=−1.4.已知cosα＝－，求sinα，tanα的值．【答案】见解析【解析】 cosα＝－<0，∴α是第二或第三象限的角，如果α是第二象限角，那么sinα＝＝＝，tanα＝＝＝－.如果α是第三象限角，同理可得sinα＝－＝－，tanα＝.考向二弦的齐次问题【例2】（1）已知tanα＝2，则的值为．（2）若tanα＝，则cos2α＋2sin2α＝【答案】（1）3（2）【解析】（1）原式＝＝＝3..（2）tanα＝，则cos2α＋2sin2α＝＝＝.【套路总结】弦的齐次问题(1)形如asinα＋bcosα和asin2α＋bsinαcosα＋ccos2α的式子分别称为关于sinα，cosα的一次齐次式和二次齐次式，对涉及它们的三角变换通常转化为正切(分子分母同除以cosα或cos2α)求解．如果分母为1，可考虑将1写成sin2α＋cos2α.(2)已知tanα＝m的条件下，求解关于sinα，cosα的齐次式问题，必须注意以下几点：①一定是关于sinα，cosα的齐次式(或能化为齐次式)的三角函数式．②因为cosα≠0，所以可以用cosnα(n∈N*)除之，这样可以将被求式化为关于tanα的表示式，可整体代入tanα＝m的值，从而完成被求式的求值运算．【举一反三】1．已知向量⃑a=(sinθ,−2)，⃑b=(1,cosθ)，且⃑a⊥⃑b，则sin2θ+cos2θ的值为_____．【答案】1【解析】 ⃑a=(sinθ,−2)，⃑b=(1,cosθ)，且⃑a⊥⃑b，∴sinθ−2cosθ=0，∴tanθ=2，∴sin2θ+cos2θ=2sinθcosθ+cos2θsin2θ+cos2θ=2tanθ+1tan2θ+1=4+14+1=1．故答案为：1．2．已知直线2x−4y+5=0的倾斜角为α，则sin2α=¿（）A．25B．45C．310D．12【答案】B【解析】直线2x−4y+5=0的倾斜角为α,可得斜率k=tanα=12,则sin2α=2sinαcosαsin2α+cos2α=2tanαtan2α+1=114+1=45，故选：B3..已知＝－1，求下列各式的值．(1)；(2)sin2α＋sinαcosα＋2.【答案】（1）－.（2）【解析】由已知得tanα＝.(1)＝＝－.(2)sin2α＋sinαcosα＋2＝＋2＝＋2＝＋2＝.考向三sinα±cosα，sinαcosα【例3】已知sinα＋cosα＝－，0＜α＜π.(1)求sinαcosα的值；(2)求sinα－cosα的值．【答案】（1）－.（2）.【解析】(1)由sinα＋cosα＝－，得(sinα＋cosα)2＝，sin2α＋2sinαcosα＋cos2α＝，sinαcosα＝－.(2)因为0＜α＜π，sinαcosα＜0，所以sinα＞0，cosα＜0sin⇒α－cosα＞0.sinα－cosα＝＝＝.【套路总结】(1)应用公式时注意方程思想的应用：对于sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cosα这三个式...
