高中数学函数零点在解题中的应用如果函数在处的函数值等于零，即，则称a为函数的零点，因此函数的零点就是方程的根。函数的零点把函数和方程紧密地联系在一起，函数的零点是函数的一个重要特性，在分析解题思路、探求解题方法中发挥着重要作用，有些看似复杂的问题，借助零点都能迎刃而解。本文举例探讨函数零点在解题中的应用，希望对同学们的学习能有所帮助。1.判断方程根的个数例1对于一切实数，函数都有，且方程有五个不同的实根，则这五个实根的和为_______解析：由可知函数的图象关于直线对称，而方程的五个不同的实根就是函数的五个不同的零点，即函数的图象与x轴交点的横坐标，所以函数图象与x轴的五个不同交点关于直线对称，其中四个交点关于直线两两对称，第五个交点必是，所以五个实根之和为5。点评：函数与方程密切相关，对于函数，当时，可转化为方程。2.利用函数零点解不等式例2二次函数的部分对应值如下表：012346006则不等式的解集是__________。解析：由表中数据可知函数的两个零点分别为和3，这两个零点将其余实数分为三个区间：，在区间中取特殊值，因此根据二次函数变号零点的性质，当时，都有；当时，有；当时，有，故不等式的解集为。点评：二次函数的图象是连续的，当它通过零点（不是二重零点）时，函数值变号，并且在任意两个相邻的变号零点之间函数值保持同号，根据二次函数变号零点的这一性质，可以求解二次不等式。3.利用函数的零点研究方程的根例3已知函数，若是方程的两个根，则实数之间的大小关系是（）A.B.C.D.解析：若令，显然函数的两个零点是，函数的两个零点，而函数的图象是由函数的图象向上平移2个单位得到的，结合图象（略）可知，应选B。点评：由于函数的零点就是方程的根，所以在研究方程的有关问题（如比较方程根的大小、确定方程根的分布、证明根的存在性）时，都可以将方程问题转化为函数问题，借助函数的零点，结合函数的图象加以解决。4.利用函数的零点求参数的范围例4已知关于的方程的两根满足，求实数a的取值范围。解析：关于x的方程的两根满足，即函数的两个零点满足，所以结合二次函数的图象可得：即解得。5.利用函数的零点解决探究性问题例5已知函数，若，是否存在正整数t使？若存在，求出t；若不存在，请说明理由。解析：由，得，由，知。所以函数图象开口向上，且。由，知函数存在小于零的零点。∴的图象开口向上，与x轴的两个交点一个是负数，另一个是1，由图象特征知在上是增函数，若成立，必有，得，即。故正整数t存在，且只要是大于2的正整数都满足。
