第3讲平面向量的数量积及应用举例[基础题组练]1．设a＝(1，2)，b＝(1，1)，c＝a＋kb.若b⊥c，则实数k的值等于()A．－B．－C.D．解析：选A.c＝a＋kb＝(1，2)＋k(1，1)＝(1＋k，2＋k)，因为b⊥c，所以b·c＝0，b·c＝(1，1)·(1＋k，2＋k)＝1＋k＋2＋k＝3＋2k＝0，所以k＝－.2．(2020·湖南省五市十校联考)已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，a·(a－2b)＝0，则|a＋b|＝()A.B.C．2D．解析：选A.由题意知，a·(a－2b)＝a2－2a·b＝1－2a·b＝0，所以2a·b＝1，所以|a＋b|＝＝＝.故选A.3．(2020·广州市综合检测(一))a，b为平面向量，已知a＝(2，4)，a－2b＝(0，8)，则a，b夹角的余弦值等于()A．－B．－C.D．解析：选B.设b＝(x，y)，则有a－2b＝(2，4)－(2x，2y)＝(2－2x，4－2y)＝(0，8)，所以，解得，故b＝(1，－2)，|b|＝，|a|＝2，cos〈a，b〉＝＝＝－，故选B.4．(2020·四川资阳第一次模拟)已知向量a，b满足a·b＝0，|a＋b|＝m|a|，若a＋b与a－b的夹角为，则m的值为()A．2B.C．1D．解析：选A.因为a·b＝0，所以|a＋b|＝|a－b|，因为|a＋b|＝m|a|，所以(a＋b)2＝m2a2，所以a2＋b2＝m2a2，所以b2＝(m2－1)a2.又a＋b与a－b的夹角为，所以＝cos，所以＝＝＝－.解得m＝2或m＝－2(舍去)．故选A.5．(2020·郑州市第二次质量预测)在Rt△ABC中，∠C＝90°，CB＝2，CA＝4，P在边AC1的中线BD上，则CP·BP的最小值为()A．－B．0C．4D．－1解析：选A.依题意，以C为坐标原点，分别以AC，BC所在的直线为x，y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则B(0，2)，D(2，0)，所以直线BD的方程为y＝－x＋2，因为点P在边AC的中线BD上，所以可设P(t，2－t)(0≤t≤2)，所以CP＝(t，2－t)，BP＝(t，－t)，所以CP·BP＝t2－t(2－t)＝2t2－2t＝2－，当t＝时，CP·BP取得最小值－，故选A.6．(2019·高考全国卷Ⅲ)已知a，b为单位向量，且a·b＝0，若c＝2a－b，则cos〈a，c〉＝．解析：设a＝(1，0)，b＝(0，1)，则c＝(2，－)，所以cos〈a，c〉＝＝.答案：7．已知点M，N满足|MC|＝|NC|＝3，且|CM＋CN|＝2，则M，N两点间的距离为．解析：依题意，得|CM＋CN|2＝|CM|2＋|CN|2＋2CM·CN＝18＋2CM·CN＝20，则CM·CN＝1，故M，N两点间的距离为|MN|＝|CN－CM|＝＝＝4.答案：48．(2020·山东师大附中二模改编)已知向量a，b，其中|a|＝，|b|＝2，且(a－b)⊥a，则向量a和b的夹角是，a·(a＋b)＝．解析：由题意，设向量a，b的夹角为θ，因为|a|＝，|b|＝2，且(a－b)⊥a，所以(a－b)·a＝|a|2－a·b＝|a|2－|a||b|cosθ＝3－2·cosθ＝0，解得cosθ＝.又因为0≤θ≤π，所以θ＝.则a·(a＋b)＝|a|2＋|a|·|b|·cosθ＝3＋2×＝6.答案：69．已知向量a＝(2，－1)，b＝(1，x)．(1)若a⊥(a＋b)，求|b|的值；(2)若a＋2b＝(4，－7)，求向量a与b夹角的大小．解：(1)由题意得a＋b＝(3，－1＋x)．2由a⊥(a＋b)，可得6＋1－x＝0，解得x＝7，即b＝(1，7)，所以|b|＝＝5.(2)由题意得，a＋2b＝(4，2x－1)＝(4，－7)，故x＝－3，所以b＝(1，－3)，所以cos〈a，b〉＝＝＝，因为〈a，b〉∈[0，π]，所以a与b夹角是.10．已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61.(1)求a与b的夹角θ；(2)求|a＋b|；(3)若AB＝a，BC＝b，求△ABC的面积．解：(1)因为(2a－3b)·(2a＋b)＝61，所以4|a|2－4a·b－3|b|2＝61.又|a|＝4，|b|＝3，所以64－4a·b－27＝61，所以a·b＝－6，所以cosθ＝＝＝－.又0≤θ≤π，所以θ＝.(2)|a＋b|2＝(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝42＋2×(－6)＋32＝13，所以|a＋b|＝.(3)因为AB与BC的夹角θ＝，所以∠ABC＝π－＝.又|AB|＝|a|＝4，|BC|＝|b|＝3，所以S△ABC＝×4×3×＝3.[综合题组练]1．(2020·安徽五校联盟第二次质检)已知O是△ABC内部一点，且满足OA＋OB＋OC＝0，又AB·AC＝2，∠BAC＝60°，则△OBC的面积为()A.B．3C．1D．2解析：选C.由AB·AC＝2，∠BAC＝60°，可得AB·AC＝|AB|·|AC|cos∠BAC＝·|AB||3AC|＝2，所以|AB||AC|＝4，所以S△ABC＝|AB||AC|sin∠BAC＝3，又OA＋OB＋OC＝0，所以O为△ABC的重心，所以S△OBC＝S△ABC＝1，故选C.2．(2020·河北衡水中学期末)在四边形ABCD中，已知M是AB边上的点，且MA＝MB＝MC＝MD＝1...
