10.2.1复数的加法与减法关键能力·素养形成类型一复数的加、减运算【典例】(1)计算(2+4i)+(3-4i).(2)计算(-3-4i)+(2+i)-(1-5i).【思维·引】根据复数的加法与减法的运算法则计算.【解析】(1)原式=(2+3)+(4-4)i=5.(2)原式=(-3+2-1)+(-4+1+5)i=-2+2i.【类题·通】复数代数形式的加、减法运算技巧(1)复数代数形式的加、减法运算实质就是将实部与实部相加减,虚部与虚部相加减之后分别作为结果的实部与虚部,因此要准确地提取复数的实部与虚部.(2)算式中若出现字母,首先确定其是否为实数,再确定复数的实部与虚部,最后把实部与实部、虚部与虚部分别相加减.(3)复数的运算可以类比多项式的运算:若有括号,括号优先;若无括号,可以从左到右依次进行计算.(4)当一个等式中同时含有|z|与z时,一般用待定系数法,设z=x+yi(x,y∈R).【习练·破】(1)已知复数z1=a2-3-i,z2=-2a+a2i,若z1+z2是纯虚数,则实数a=________.(2)(a+bi)-(2a-3bi)-3i=________(a,b∈R).(3)已知复数z满足|z|+z=1+3i,则z=________.【解析】(1)由条件知z1+z2=a2-2a-3+(a2-1)i,又z1+z2是纯虚数,所以解得a=3.(2)(a+bi)-(2a-3bi)-3i=(a-2a)+(b+3b-3)i=-a+(4b-3)i.(3)设z=x+yi(x,y∈R),|z|=,所以|z|+z=(+x)+yi=1+3i,所以解得所以z=-4+3i.答案:(1)3(2)-a+(4b-3)i(3)-4+3i类型二复数的加、减运算的几何意义【典例】如图所示,平行四边形OABC的顶点O,A,C分别表示0,3+2i,-2+4i.求:(1)表示的复数.(2)对角线表示的复数.(3)对角线表示的复数.世纪【思维·引】利用复数的几何意义以及向量的运算求解.【解析】(1)因为=-,所以表示的复数为-3-2i.(2)因为=-,所以对角线表示的复数为(3+2i)-(-2+4i)=5-2i.(3)因为对角线=+,所以对角线表示的复数为(3+2i)+(-2+4i)=1+6i.【素养·探】在应用复数的几何意义求复数的过程中,经常利用核心素养中的直观想象,一般是利用复数加法和减法的几何意义,求向量对应的复数或复数对应的向量.典例的条件不变,求向量表示的复数.【解析】因为=+,由解析可知,表示的复数为-3-2i,表示的复数为1+6i,所以向量表示的复数为(-3-2i)+(1+6i)=-2+4i.【类题·通】复数与向量的对应关系的两个关注点(1)复数z=a+bi(a,b∈R)是与以原点为起点,Z(a,b)为终点的向量一一对应的.(2)一个向量可以平移,其对应的复数不变,但是其起点与终点所对应的复数可能改变.【习练·破】(2020·合肥高二检测)已知复平面内的平面向量,表示的复数分别是-2+i,3+2i,则||=________.【解析】因为=+,所以表示的复数为(-2+i)+(3+2i)=1+3i,所以||==.答案:【加练·固】如果一个复数与它的模的和为5+i,那么这个复数是________.【解析】设这个复数为x+yi(x,y∈R),所以x+yi+=5+i,所以所以所以x+yi=+i.答案:+i类型三复数模的最值问题【典例】若复数z满足|z++i|≤1,求|z|的最大值和最小值.世纪【思维·引】利用不等式||z1|-|z2||≤|z1+z2|≤|z1|+|z2|求解.【解析】因为|z++i|≥||z|-|+i||,又|z++i|≤1,所以||z|-|+i||≤1,即||z|-2|≤1,解得1≤|z|≤3,即|z|的最大值为3,最小值为1.【类题·通】在涉及复数的模的最值或范围问题时,经常使用的不等式有两个:(1)||z1|-|z2||≤|z1+z2|≤|z1|+|z2|.(2)||z1|-|z2||≤|z1-z2|≤|z1|+|z2|.【习练·破】已知|z|=1且z∈C,求|z-2-2i|(i为虚数单位)的最小值.【解析】因为|z-2-2i|≥||z|-|2+2i||=|1-2|=2-1,所以|z-2-2i|(i为虚数单位)的最小值为2-1.
