第24讲两角和与差的三角函数1．sin15°cos75°＋cos15°sin105°等于(D)A．0B.C.D．1原式＝sin15°cos75°＋cos15°sin75°＝sin90°＝1.2．(2019·广东清远一模)函数f(x)＝sinx－cos(x－)的值域为(D)A．[－]B．[－，]C．[－2,2]D．[－1,1]f(x)＝sinx－cos(x－)＝sinx－cosx－sinx＝sinx－cosx＝sin(x－)．故其值域为[－1,1]．3．(2019·辽宁第二次月考)若sin(－α)＋sinα＝，则sin(α＋)的值是(C)A．－B.C．－D.sin(－α)＋sinα＝sincosα－cossinα＋sinα＝cosα＋sinα＝sin(α＋)＝，所以sin(α＋)＝.根据诱导公式，sin(α＋)＝sin(α＋＋π)＝－sin(α＋)＝－.4．(2017·豫北名校联考)若函数f(x)＝5cosx＋12sinx在x＝θ时取得最小值，则cosθ＝(B)A.B．－C.D．－因为f(x)＝5cosx＋12sinx＝13(cosx＋sinx)＝13sin(x＋α)，其中sinα＝，cosα＝，由题意θ＋α＝2kπ－(k∈Z)，得θ＝2kπ－－α(k∈Z)．所以cosθ＝cos(2kπ－－α)＝cos(＋α)＝－sinα＝－.5．(2017·江苏卷)若tan(α－)＝，则tanα＝.(方法一)因为tan(α－)＝＝＝，所以6tanα－6＝1＋tanα(tanα≠－1)，所以tanα＝.(方法二)tanα＝tan[(α－)＋]＝＝＝.6.(2018·全国卷Ⅱ)已知sinα＋cosβ＝1，cosα＋sinβ＝0，则sin(α＋β)＝__－__．因为sinα＋cosβ＝1，①cosα＋sinβ＝0，②所以①2＋②2得1＋2(sinαcosβ＋cosαsinβ)＋1＝1，所以sinαcosβ＋cosαsinβ＝－，所以sin(α＋β)＝－.7．已知α是第二象限角，sinα＝，β为第三象限角，tanβ＝.(1)求tan(α＋β)的值；(2)求cos(2α－β)的值．(1)因为α是第二象限角，sinα＝，所以cosα＝－＝－，tanα＝＝－，又tanβ＝，所以tan(α＋β)＝＝.(2)因为β为第三象限角，tanβ＝，所以sinβ＝－，cosβ＝－.又sin2α＝2sinαcosα＝－，cos2α＝1－2sin2α＝，所以cos(2α－β)＝cos2αcosβ＋sin2αsinβ＝.8．(经典真题)若tanα＝2tan，则＝(C)A．1B．2C．3D．4由cos(α－π)＝cos(α＋－)＝sin(α＋)．所以原式＝＝＝.又因为tanα＝2tan，所以原式＝＝3.9．若cosxcosy＋sinxsiny＝，sin2x＋sin2y＝，则sin(x＋y)的值为.cos(x－y)＝，sin2x＋sin2y＝sin[(x＋y)＋(x－y)]＋sin[(x＋y)－(x－y)]＝2sin(x＋y)cos(x－y)＝，所以sin(x＋y)＝.10．如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，已知A，B的横坐标分别为，.(1)求tan(α＋β)的值；(2)求α＋2β的值．由条件得cosα＝，cosβ＝.因为α，β为锐角，所以sinα＝＝，同理可得sinβ＝.所以tanα＝7，tanβ＝.(1)tan(α＋β)＝＝－3.(2)因为tan(α＋2β)＝tan[(α＋β)＋β]＝＝＝－1.因为α，β为锐角，所以0<α＋2β<，所以α＋2β＝.
