专题4.4三角函数的图象与性质【考试要求】1.能画出三角函数y＝sinx，y＝cosx，y＝tanx的图象，了解三角函数的周期性、单调性、奇偶性、最大(小)值；2.借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0，2π]上，正切函数在上的性质.【知识梳理】1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图(1)正弦函数y＝sinx，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，0)，，(π，0)，，(2π，0).(2)余弦函数y＝cosx，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，1)，，(π，－1)，，(2π，1).2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z)函数y＝sinxy＝cosxy＝tanx图象定义域RR{xx≠kπ＋}值域[－1，1][－1，1]R周期性2π2ππ奇偶性奇函数偶函数奇函数递增区间[2kπ－π，2kπ]递减区间[2kπ，2kπ＋π]无对称中心(kπ，0)对称轴方程x＝kπ＋x＝kπ无【微点提醒】1.对称与周期(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是个周期.(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期.2.对于y＝tanx不能认为其在定义域上为增函数，而是在每个区间(k∈Z)内为增函数.【疑误辨析】1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)余弦函数y＝cosx的对称轴是y轴.()(2)正切函数y＝tanx在定义域内是增函数.()(3)已知y＝ksinx＋1，x∈R，则y的最大值为k＋1.()(4)y＝sin|x|是偶函数.()【答案】(1)×(2)×(3)×(4)√【解析】(1)余弦函数y＝cosx的对称轴有无穷多条，y轴只是其中的一条.(2)正切函数y＝tanx在每一个区间(k∈Z)上都是增函数，但在定义域内不是单调函数，故不是增函数.(3)当k>0时，ymax＝k＋1；当k<0时，ymax＝－k＋1.【教材衍化】2.(必修4P46A2，3改编)若函数y＝2sin2x－1的最小正周期为T，最大值为A，则()A.T＝π，A＝1B.T＝2π，A＝1C.T＝π，A＝2D.T＝2π，A＝2【答案】A【解析】最小正周期T＝＝π，最大值A＝2－1＝1.故选A.3.(必修4P47B2改编)函数y＝－tan的单调递减区间为________.【答案】(k∈Z)【解析】由－＋kπ＜2x－＜＋kπ(k∈Z)，得＋＜x＜＋(k∈Z)，所以y＝－tan的单调递减区间为(k∈Z).【真题体验】4.(2017·全国Ⅱ卷)函数f(x)＝sin的最小正周期为()A.4πB.2πC.πD.【答案】C【解析】由题意T＝＝π.5.(2017·全国Ⅲ卷)函数f(x)＝sin＋cos的最大值为()A.B.1C.D.【答案】A【解析】cos＝cos＝sin，则f(x)＝sin＋sin＝sin，函数的最大值为.6.(2018·江苏卷)已知函数y＝sin(2x＋φ)的图象关于直线x＝对称，则φ的值是________.【答案】－【解析】由函数y＝sin(2x＋φ)的图象关于直线x＝对称，得sin＝±1.所以＋φ＝＋kπ(k∈Z)，所以φ＝－＋kπ(k∈Z)，又－<φ<，所以φ＝－.【考点聚焦】考点一三角函数的定义域【例1】(1)函数f(x)＝－2tan的定义域是()A.B.C.D.(2)不等式＋2cosx≥0的解集是________.(3)函数f(x)＝＋log2(2sinx－1)的定义域是________.【答案】(1)D(2)(3)∪∪【解析】(1)由2x＋≠kπ＋(k∈Z)，得x≠＋(k∈Z).(2)由＋2cosx≥0，得cosx≥－，由余弦函数的图象，得在一个周期[－π，π]上，不等式cosx≥－的解集为，故原不等式的解集为.(3)由题意，得由①得－8≤x≤8，由②得sinx>，由正弦曲线得＋2kπ
