绝对值不等式问题感悟体验·快易通1.已知函数f(x)=|x-a|-2.(1)若a=1,求不等式f(x)+|2x-3|>0的解集.(2)关于x的不等式f(x)>|x-3|有解,求实数a的取值范围.【解析】(1)当a=1时,原不等式等价于:|x-1|+|2x-3|>2.当x≥时,3x-4>2,解得x>2,当12,无解,当x<1时,4-3x>2,解得x<,所以原不等式的解集为:.(2)f(x)>|x-3||x-a|-|x-3|>2,⇔令f(x)=|x-a|-|x-3|,依题意:f(x)max>2,因为f(x)=|x-a|-|x-3|≤|a-3|,所以f(x)max=|a-3|,所以|a-3|>2,解得a>5或a<1,故a的取值范围为(-∞,1)∪(5,+∞).2.已知函数f(x)=|2x-3|-|x+1|.(1)若不等式f(x)≤a的解集是空集,求实数a的取值范围.(2)若存在x0∈R,使得2f(x0)≤-t2+4|t|成立,求实数t的取值范围.【解析】(1)f(x)=|2x-3|-|x+1|=作出f(x)的图象如图所示,数形结合知f(x)的最小值f(x)min=-,因为不等式f(x)≤a的解集是空集,所以实数a的取值范围为.(2)存在x0∈R,使得2f(x0)≤-t2+4|t|成立,等价于2f(x)min≤-t2+4|t|.由(1)知f(x)min=-,所以|t|2-4|t|-5≤0,解得0≤|t|≤5,故实数t的取值范围为[-5,5].
