专题05任意角及三角函数的定义一、基础过关题1．(2016·广州一模)已知α是第二象限的角，其终边上的一点为P(x，)，且cosα＝24x，则tanα等于()A.155B.153C．－155D．－153【答案】D2．(2017·九江质检)若390°角的终边上有一点P(a,3)，则a的值是()A.B．3C．－D．－3【答案】B【解析】tan390°＝3a，又tan390°＝tan(360°＋30°)＝tan30°＝33，∴3a＝33，∴a＝3.3．在直角坐标系中，O是原点，A(，1)，将点A绕O逆时针旋转90°到B点，则B点坐标为__________．【答案】(－1，)【解析】依题意知OA＝OB＝2，∠AOx＝30°，∠BOx＝120°，设点B坐标为(x，y)，所以x＝2cos120°＝－1，y＝2sin120°＝，即B(－1，)．4．已知扇形的圆心角为π6，面积为π3，则扇形的弧长等于________．【答案】π3【解析】设扇形半径为r，弧长为l，则π，解得，r＝2.5．函数y＝的定义域为______________．【答案】[2kπ＋π6，2kπ＋56π]，k∈Z【解析】由2sinx－1≥0，得sinx≥12，∴2kπ＋π6≤x≤2kπ＋56π，k∈Z.6．一个扇形OAB的面积是1cm2，它的周长是4cm，求圆心角的弧度数和弦长AB.【答案】：圆心角的弧度数为2rad，弦长AB为2sin1cm.7．如图为一个缆车示意图，该缆车半径为4.8m，圆上最低点与地面距离为0.8m，60秒转动一圈，图中OA与地面垂直，以OA为始边，逆时针转动θ角到OB，设B点与地面间的距离为h.(1)求h与θ间关系的函数解析式；(2)设从OA开始转动，经过t秒后到达OB，求h与t之间的函数关系式，并求缆车到达最高点时用的最少时间是多少？【答案】：(1)h＝5.6＋4.8sinπ2.(2)h＝5.6＋4.8sinπ2，t∈[0，＋∞)．缆车到达最高点时，用的最少时间为30秒．二、能力提高题1．设θ是第三象限角，且θ2＝－cosθ2，则θ2是第________象限角．【答案】二【解析】由θ是第三象限角，知θ2为第二或第四象限角，∵θ2＝－cosθ2，∴cosθ2≤0，综上知θ2为第二象限角．2．在(0,2π)内，使sinx>cosx成立的x的取值范围为________．【答案】(π4，5π4)【解析】如图所示，找出在(0,2π)内，使sinx＝cosx的x值，sinπ4＝cosπ4＝22，sin5π4＝cos5π4＝－22.根据三角函数线的变化规律标出满足题中条件的角x∈(π4，5π4)．3．半径为1的圆的圆心位于坐标原点，点P从点A(1,0)出发，以逆时针方向等速沿单位圆的圆周旋转．已知点P在1秒内旋转的角度为θ(0＜θ＜π)，经过2秒到达第三象限，经过14秒又回到出发点A，则角θ＝________.【答案】：4π7或5π74．已知角α终边上一点P，P到x轴的距离与到y轴的距离之比为3∶4，且sinα<0，求cosα＋2tanα的值．【答案】：若点P位于第三象限，则cosα＋2tanα＝710；若点P位于第四象限，则cosα＋2tanα＝－710.【解析】设P(x，y)，则根据题意，可得|y||x|＝34.又∵sinα<0，∴α的终边只可能在第三、第四象限．①若点P位于第三象限，可设P(－4k，－3k)(k>0)，则r＝＝5k，从而cosα＝xr＝－45，tanα＝yx＝34，∴cosα＋2tanα＝710.②若点P位于第四象限，可设P(4k，－3k)(k>0)，则r＝＝5k，从而cosα＝xr＝45，tanα＝yx＝－34，∴cosα＋2tanα＝－710.综上所述，若点P位于第三象限，则cosα＋2tanα＝710；若点P位于第四象限，则cosα＋2tanα＝－710.5.已知sinα<0，tanα>0.(1)求角α的集合；(2)求α2终边所在的象限；(3)试判断tanα2sinα2cosα2的符号．【答案】：(1){α|2kπ＋π<α<2kπ＋3π2，k∈Z}；(2)α2终边在第二、四象限；(3)tanα2sinα2cosα2取正号(3)当α2在第二象限时，tanα2<0，sinα2>0，cosα2<0，所以tanα2sinα2cosα2取正号；当α2在第四象限时，tanα2<0，sinα2<0，cosα2>0，所以tanα2sinα2cosα2也取正号．因此，tanα2sinα2cosα2取正号．
