高中数学一题多解全面考查学法指导吉晓波一题多解，可以拓宽同学们的解题思路，提高同学们的解题能力，全面考查同学们运用综合知识解决问题的能力。所以在平时的学习过程中，大家一定要加强这方面的训练，从而解题时能达到事半功倍的效果。题目：双曲线的两个焦点为，点M在双曲线上，若，求点M到x轴的距离。方法1（利用第一定义）分析：本题所求点M到x轴的距离是的高，所以面积相等成了解题的关键，而是双曲线上的点到焦点的距离，所以可用第一定义找出它们的关系，整体求解。解：设。由双曲线的对称性，不妨设点M在第一象限（如上图），则由双曲线的第一定义知①由得②②－①2得作MQ⊥x轴于Q，则在中，所以所求距离为。方法2（利用第二定义）分析：求点M到x轴的距离实际上就是求点M的纵坐标的绝对值，由第二定义的焦半径公式形式知都是和点M的横坐标有关系，从而求出距离。解：不妨设。由双曲线的第二定义可得即，这里，代入得代入双曲线的方程得，即为所求距离。方法3（几何法）分析：求点M到x轴的距离实际上就是求点M的纵坐标的绝对值，由已知，所以点M在以为直径的圆上，再利用点M在双曲线上，从而联立方程求出距离。用心爱心专心解：不妨设∵，∴点M在以为直径的圆上，即①又点M在双曲线上，所以②由①②得，即点M到x轴的距离为方法4（向量法）分析：求点M到x轴的距离实际上就是求点M的纵坐标的绝对值，若把线段看成平面向量，由两非零向量垂直的充要条件列出方程即可解出纵坐标，从而求出距离。解：不妨设点M在双曲线上，则有①两焦点坐标分别为∵，∴，即②联立①②解得，即点M到x轴的距离为方法5（利用已知结论）分析：两个焦点与双曲线上的任一点M可以构成焦三角形，由焦三角形的结论：如果焦三角形的顶角为，则它的面积公式是。再由面积相等可求出M的纵坐标，从而求出距离。解：∵，∴，则由双曲线的焦三角形面积公式知①又设则②∴，即点M到x轴的距离为用心爱心专心
