高中数学浅议函数模型的应用随着新课程的实施，函数模型及其应用纳入高中教材，这是课程改革的重要举措，也是“学数学，用数学”的体现。解决实际问题通常有四个步骤：①阅读理解，认真审题；②引进数学符号，建立数学模型；③利用数学的方法，得到数学结果；④转译成具体问题作出解答。其中关键是建立数学模型，下面谈一谈函数模型的应用。一、二次函数模型例1如图所示，某房地产公司在矩形拆迁地ABCD中规划一块矩形地面PQCR建造住宅小公园，为了保护文物，公园又不能超越文物保所区的界线EF，由实地测量知，米，米，米，米，问：怎样设计矩形公园的长和宽，才能使其面积最大？最大面积是多少？分析：由题意可知，点Q、R必定在边BC、CD上。若点P在DF上，则矩形PQCR应为具有最大面积的矩形PQCD；若点P在BE上，则矩形PQCR应为具有最大面积的矩形EBCR。因此只需求出点P在EF上时矩形PQCR的最大面积，然后加以比较便知。解：设点P在EF上，PQ=x，则。延长QP交AF于G，则。因为∽，故。所以。x，当时，最大，此时最大值约为24067。而，所以。故设计矩形公园的长PQ为190米，宽PR约为126.67米时，其面积最大，最大面积约为24067平方米。点评：根据几何图形的形状，对点P的位置进行分类讨论，比较不同位置下面积的大小，从而求出最大面积时点P的位置。此题借助于二次函数的最值研究方法，求出了矩形PQCR面积的最大值。二、分段函数模型例2一家报刊摊点，从报社买进报纸价格是每份0.24元，卖出是每份0.40元，卖不掉的报纸还可以每份0.08元的价格退回报社，在一个月的30天里，有20天每天可卖出300份，其余10天，每天卖出200份，但这30天里，每天从报社买进的份数必须相同，这家报刊摊点应该每天从报社进多少份报纸，才能获得最大利润？一个月可赚多少钱？解：设这家报刊摊点第天从报社买进x份报纸，一个月可赚y元。①当时，。②当时，。③当时，。综上知，这家报刊摊点应该每天从报社进300份报纸，才能获得最大利润，一个月可赚1120元。点评：函数模型为分段函数，求分段函数的最值，应先求出函数在各分段的最值，然后取各分段的最值中的最大者为整个函数的最大值，取各分段最值中的最小者为整个函数的最小值。三、指数函数模型例31980年，我国人均收入255美元，到2000年，人民生活达到小康水平，即人均收入达到817美元，问：年平均增长率是多少？分析：设出平均增长率，可构建函数模型。解：设1980年到2000年的年平均增长率是x，则1981年人均收入为，1982年人均收入为2000年人均收入为。∴，可求得。故1980年到2000年的年平均增长率是6%。点评：此类问题，可构建函数模型，这是一个应用范围很广的函数模型，在复利计算、工农业产值、人口数量等方面都涉及到此式，，表示平均增长率，，表示减少或折旧率。四、幂函数模型例4在固定电压差（电压差为常数）下，当电流通过圆柱体电线时，其电流强度I与电线半径r的三次方成正比。（1）写出函数解析式；（2）若电流通过半径为4毫米的电线时，电流强度为320安，求电流通过半径为r毫米的电线时，其电流强度的表达式；（3）已知（2）中的电流通过的电线半径为5毫米，计算该电流强度。解析：（1）由题意得（k为常数）。（2）由（1）知3，解得。所以。（3）由（2）中电流强度的表达式，将代入得。五、函数思想例5若关于x的方程有实根，求实数a的范围。分析：令，则，问题转化为二次方程的区间根问题，构建二次函数模型，用函数的知识求解。解：令，则，问题转化为二次方程在上有实根。由，得，将此等式看成是a关于t的函数。根据值域的概念，所求a的取值范围即为此二次函数在上的值域。由，函数图象的对称轴，得函数在上是减函数。当时，；当时，。所以。点评：构建二次函数模型，用函数的知识求解，体现了函数与方程的思想。
