专题10解三角形的技巧与解题规律(1)一、本专题要特别小心：1.解三角形时的分类讨论（锐角钝角之分）2.三角形与三角函数的综合3.正余弦定理及三角形中的射影定理的应用4.三角形中的中线问题5.三角形中的角平分性问题6.多个三角形问题7．三角形的综合二．【学习目标】掌握三角形形状的判断方法；三角形有关三角函数求值，能证明与三角形内角有关的三角恒等式三．【方法总结】三角形中的三角函数主要涉及三角形的边角转化，三角形形状判断，三角形内三角函数求值及三角恒等式证明等．以正弦、余弦定理为知识框架，以三角形为主要依托，结合实际问题考查应用．要注意根据条件的特点灵活运用正弦定理或余弦定理．一般考虑从两个方向进行变形，一个方向是边，走代数变形之路，通常是正弦定理、余弦定理结合使用；另一个方向是角，走三角变形之路，主要是利用正弦定理四．【题型方法】（一）多个三角形问题例1.在四边形中，，，，，.（1）求的大小；（2）求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）在中，由余弦定理，得：由，，得：（2）由（1）得：在中，由正弦定理得：练习1．在中，角的对边分别为，，，．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若为边上的点，并且，求．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）由余弦定理可得：，即，整理得，解得或（舍）所以．（Ⅱ）在中，由正弦定理，可得．又因为，所以．所以．所以．练习2.已知中，内角所对的边分别为，若，点在边上，，且，则_____．【答案】【解析】如图： 及，∴．又，∴的面积，的面积，由可得，即，所以①，由的面积，得，即②，由①②解得，∴．故答案为：．练习3．在中，角，，的对边分别为，，.已知，，的面积为（Ⅰ）求边；（Ⅱ）为边上一点，若，求.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）3【解析】（Ⅰ）由余弦定理得.则，所以.所以，得.（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，.所以，因为，所以.同理，又由得.所以.在中，由正弦定理得，所以.（二）中线长问题例2.已知在中，，，分别为角，，的对应边，点为边的中点，的面积为.（I）求的值；（II）若，，求.【答案】（I）；（II）【解析】（I）由的面积为且为的中点可知：的面积为，由三角形的面积公式可知，由正弦定理可得，所以.（II）因为，所以在中，由正弦定理可得，所以，由（1）可知，所以，， ，∴，在直角中，，所以，. ，，在中用余弦定理，可得练习1.在中，，且.（1）求边长；（2）求边上中线的长.【答案】（1）；（2）.【解析】（1），，由正弦定理可知中：（2）由余弦定理可知：，是的中点，故，在中，由余弦定理可知：练习2.在中，，且.（1）求边长；（2）求边上中线的长.【答案】（1）；（2）.【解析】分析;（1）利用同角的三角函数关系，可以求出的值，利用三角形内角和定理，二角和的正弦公式可以求出，最后利用正弦定理求出长；（2）利用余弦定理可以求出的长，进而可以求出的长，然后在中，再利用余弦定理求出边上中线的长.【详解】（1），，由正弦定理可知中：（2）由余弦定理可知：，是的中点，故，在中，由余弦定理可知：练习3.在中，内角的对边分别为，已知，.（1）求角；（2）若是上的中线，延长至点，使得，求两点的距离.【答案】(1)(2)【解析】（1）在中，由及正弦定理得，因为，化简得，即，因为，所以（2）由余弦定理得所以，故,即是直角三角形.由（1）知是等边三角形，且，所以在中，,故两点的距离为.故答案为（三）角平分线问题例3.在中，角的对边分別为，若，，.（1）求；（2）已知点在边上，且平分，求的面积.【答案】(1)(2)【解析】（1）由，，得，所以，由正弦定理，可得.（2），在中，由余弦定理，得，解得或（舍去）.，因为，所以.练习1.在中，，(1)求的值；(2)设的平分线与交于，若，求的长.【答案】（1）（2）【解析】(1)由，得，又由,所以，所以.(2)在直角中，，，所以，在中，由正弦定理得，，所以.练习2.在中，，，为的内角平分线，.（Ⅰ）求的值（Ⅱ）求角的大小【答案】（Ⅰ）2；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）在三角形ABD中,由正弦定理得：在三角形ACD中,由正弦定理得：因为（Ⅱ）在三角形ABD中,由余弦定理得在三角形ACD中,由余弦定理得又解得又练习3.已知的三个角所对的边分别为...
