考点2命题及其关系、充分条件和必要条件【考纲要求】理解必要条件、充分条件与充要条件的意义.【命题规律】考查充分条件与必要条件的题型一般以选择题或填空题的形式出现,以集合、函数、数列、三角函数、不等式及立体几何中的线面关系为载体,难度一般不大.【典型高考试题变式】(一)充分条件与必要条件的判定例1.【2017天津卷】设,则“”是“”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【名师点睛】充分条件、必要条件的判断方法:①定义法:直接判断“若p则q”、“若q则p”的真假.并注意和图示相结合,例如“p⇒q”为真,则p是q的充分条件.②等价法:利用p⇒q与q⇒p,q⇒p与p⇒q,p⇔q与q⇔p的等价关系,对于条件或结论是否定式的命题,一般运用等价法.③集合法:若A⊆B,则A是B的充分条件或B是A的必要条件;若A=B,则A是B的充要条件.【变式1】【改变例题中的条件】设,则“”是“”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由得,由得,所以“”是“”的充分而不必要条件,故选A.【变式2】【改变例题中的条件】设,则“”是“”的必要而不充分条件,则实数的取值范围是.【答案】或例2.【2017天津卷】设,则“”是“”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.即不充分也不必要条件【答案】A【解析】,但,不满足,所以是充分不必要条件,故选A.【名师点睛】充分条件与必要条件的两个特征:①对称性:若p是q的充分条件,则q是p的必要条件,即“p⇒q”⇔“q⇐p”.②传递性:若p是q的充分(必要)条件,q是r的充分(必要)条件,则p是r的充分(必要)条件,即“p⇒q且q⇒r”⇒“p⇒r”(“p⇐q且q⇐r”⇒“p⇐r”).【变式1】【改变例题的条件】设,则“”是“”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.即不充分也不必要条件【答案】D【解析】,所以“”是“”的是即不充分也不必要条件,故选D.【变式2】【把例题中的“”与“”交换】设,则“”是“”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.即不充分也不必要条件【答案】C【解析】,所以“”是“”的是充要条件,故选C.(二)充分条件与必要条件的运用例3.【2011全国卷】下面四个条件中,使成立的充分而不必要的条件是()A.B.C.D.【答案】A【解析】由,得;反之不成立,故选A.【名师点津】命题是的必要不充分条件且;命题的必要不充分条件是且.这两种说法有区别,不能混淆.【变式1】【改变例题中的问法】下面四个条件中,使成立的必要而不充分的条件是()A.B.C.D.【答案】B【解析】由,可得;反之不成立,故选B.【变式2】【改变例题中的条件、问法】下面四个条件中,使成立的充要的条件是()A.B.C.D.【答案】C【解析】由,可得;反之也成立,故选C.(三)新定义问题例3.【2011湖北卷】若实数,满足,则称与互补,记,那么是与互补的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.即不充分也不必要条件【答案】C【名师点津】紧扣新定义.首先分析新定义的特点,把新定义所叙述的问题的本质弄清楚,并能够应用到具体的解题过程之中,这是破解新定义型集合问题难点的关键所在.【变式1】【2007湖北卷】若数列满足(为正常数,),则称为“等方比数列”.甲:数列是等方比数列;乙:数列是等比数列,则()A.甲是乙的充分条件但不是必要条件B.甲是乙的必要条件但不是充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件【答案】B【解析】由等比数列的定义数列,若乙:是等比数列,公比为,即则甲命题成立;反之,若甲:数列是等方比数列,即,即公比不一定为,则命题乙不成立,故选B.【变式2】【2010年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷10】记实数,,……中的最大数为max,最小数为min。已知ABC的三边长位a,b,c(),定义它的倾斜度为则“=1”是“ABC为等边三角形”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.即不充分也不必要条件【答案】A【数学思想】与充分、必要条件有关的问题常用到等价思想...