第22讲任意角的三角函数1．(经典真题)若tanα>0，则(C)A．sinα>0B．cosα>0C．sin2α>0D．cos2α>0由tanα>0得α是第一、三象限角．若α是第三象限，则A、B都错．由sin2α＝2sinαcosα知sin2α>0，C正确．α取，cos2α＝cos＝－<0，D错．2．(2017·河南八市联考)已知函数y＝loga(x－1)＋3(a>0且a≠1)的图象恒过定点P，若角α的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P，则sin2α－sin2α的值为(D)A.B．－C.D．－由已知可得点P的坐标为(2,3)，根据三角函数的定义可得sinα＝，cosα＝.所以sin2α－sin2α＝－2××＝－.3.在平面直角坐标系中，点O(0,0)，P(6,8)，将向量OP绕点O按逆时针方向旋转后得到向量OQ，则点Q的坐标是(A)A．(8，－6)B．(－8，－6)C．(－6,8)D．(－6，－8)|OP|＝10，且设∠xOP＝θ，所以cosθ＝＝，sinθ＝，设OQ＝(x，y)，则x＝10cos(θ＋)＝10sinθ＝8，y＝10sin(θ＋)＝－10cosθ＝－6.4.(2018·湖北5月冲刺试题)《九章算术》是中国古代第一部数学专著，成于公元一世纪左右，系统总结了战国、秦、汉时期的数学成就．其中《方田》一章中记载了计算弧田(弧田就是由圆弧和其所对弦所围成弓形)的面积所用的经验公式：弧田面积＝(弦×矢＋矢×矢)，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．按照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差．现有圆心角为，弦长为40m的弧田．其实际面积与按照上述经验公式计算出弧田的面积之间的误差为(B)(其中π≈3，≈1.73)A．15m2B．16m2C．17m2D．18m2因为圆心角为，弦长为40m，设半径为R，则＝sin＝，所以R＝40，圆心到弦的距离d＝Rcos＝40×＝20.所以弦＝40，矢＝R－d＝20.弧田实际面积＝πR2－×弦长×d＝π－400＝908，由经验公式得：弧田面积＝(弦×矢＋矢×矢)＝(40×20＋20×20)＝400＋200＝892.其误差为908－892＝16(m2)．5．设θ是第三象限角，且|cos|＝－cos，则是第__二__象限的角．由θ是第三象限的角，知是第二或第四象限角．又因为|cos|＝－cos，所以cos≤0，综上知是第二象限的角．6．在(0，2π)内，使sinx>cosx成立的x的取值范围为__(，)__．利用三角函数线求解，在单位圆找出在(0，2π)内，使sinx＝cosx的x值，因为sin＝cos＝，sin＝cos＝－，根据三角函数线的变化规律标出满足条件的角x∈(，)．7.如果角α的终边在直线y＝3x上，求cosα与tanα的值．因为角α的终边在直线y＝3x上，所以角α的终边在第一、三象限，当α的终边在第一象限时，因为直线过点(1,3)，所以r＝＝，所以cosα＝，tanα＝3所以当α的终边在第三象限时，同理可得cosα＝－，tanα＝3.8．(2018·北京卷·文)在平面直角坐标系中，AB，CD，EF，GH是圆x2＋y2＝1上的四段弧(如图)，点P在其中一段上，角α以Ox为始边，OP为终边．若tanα＜cosα＜sinα，则P所在的圆弧是(C)A.ABB.CDC.EFD.GH由题知四段弧是单位圆上的第Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ象限的弧，在AB上，tanα＞sinα，不满足；在CD上，tanα＞sinα，不满足；在EF上，sinα＞0，cosα＜0，tanα＜0，且cosα＞tanα，满足；在GH上，tanα＞0，sinα＜0，cosα＜0，不满足．9．(2019·成都一诊)在直角坐标系xOy中，已知任意角θ以坐标原点O为顶点，以x轴的非负半轴为始边，若其终边经过点P(x0，y0)，且|OP|＝r(r>0)，定义：sicosθ＝，称sicosθ为“θ的正余弦函数”．若sicosθ＝0，则sin(2θ－)＝.因为sicosθ＝0，所以y0＝x0，所以θ的终边在直线y＝x上，所以θ＝2kπ＋，或θ＝2kπ＋，k∈Z.当θ＝2kπ＋，k∈Z时，sin(2θ－)＝sin(4kπ＋－)＝cos＝；当θ＝2kπ＋，k∈Z时，sin(2θ－)＝sin(4kπ＋－)＝cos＝.综上得sin(2θ－)＝.10．要建一个扇环形花园，外圆半径是内圆半径的2倍，周长为定值2l，问当中心角α(0<α<π)为多少时，扇环面积最大？最大面积是多少？设内圆半径为r，扇环面积为S，则外圆半径为2r，因为αr＋α·2r＋2r＝2l，所以3α＝，所以S＝α·(2r)2－α·r2＝α·r2＝··r2＝(l－r)·r＝－r2＋lr＝－(r－l)2＋l2，所以当r＝l时，S取最大值，此时3α＝＝2，α＝.即当α＝时，S取最大值l2.
