第2讲数列的求和及综合应用A级基础通关一、选择题1．已知Tn为数列的前n项和，若m＞T10＋1013恒成立，则整数m的最小值为()A．1026B．1025C．1024D．1023解析：因为＝1＋，所以Tn＝n＋1－，所以T10＋1013＝11－＋1013＝1024－.又m＞T10＋1013，所以整数m的最小值为1024.答案：C2．(2019·广东广州天河一模)数列{an}满足a1＝1，对任意n∈N*的都有an＋1＝1＋an＋n，则＋＋…＋＝()A.B．2C.D.解析：an＋1－an＝n＋1，且a1＝1，所以利用叠加法，得an＝，则＝2，故＋＋＋…＋＝2(1－＋－＋…＋－)＝2＝.答案：C3．已知数列{an}满足an＋1－an＝2，a1＝－5，则|a1|＋|a2|＋…＋|a6|＝()A．9B．15C．18D．30解析：因为an＋1－an＝2，a1＝－5，所以数列{an}是公差为2，首项为－5的等差数列．所以an＝－5＋2(n－1)＝2n－7.数列{an}的前n项和Sn＝＝n2－6n.令an＝2n－7≥0，解得n≥.所以n≤3时，|an|＝－an；n≥4时，|an|＝an.则|a1|＋|a2|＋…＋|a6|＝－a1－a2－a3＋a4＋a5＋a6＝S6－2S3＝62－6×6－2(32－6×3)＝18.答案：C4．(2019·衡水中学月考)数列an＝，其前n项之和为，则在平面直角坐标系中，直线(n＋1)x＋y＋n＝0在y轴上的截距为()A．－10B．－9C．10D．9解析：由于an＝＝－，所以Sn＝＋＋…＋＝1－.因此1－＝，所以n＝9.所以直线方程为10x＋y＋9＝0.令x＝0，得y＝－9，所以在y轴上的截距为－9.答案：B5．(2019·广州调研)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝7，S6＝63，则数列{nan}的前n项和Tn为()A．－3＋(n＋1)×2nB．3＋(n＋1)×2nC．1＋(n＋1)×2nD．1＋(n－1)×2n解析：设等比数列的公比为q，易知q＞0且q≠1.依题意解得因此an＝a1qn－1＝2n－1，所以nan＝n·2n－1.则Tn＝1·20＋2·21＋3·22＋…＋n·2n－1.①2Tn＝1·21＋2·22＋…＋(n－1)·2n－1＋n·2n.②由①－②，得－Tn＝1＋2＋22＋…＋2n－1－n·2n＝(1－n)·2n－1.所以Tn＝1＋(n－1)·2n.答案：D二、填空题6．已知[x]表示不超过x的最大整数，例如：[2.3]＝2，[－1.5]＝－2.在数列{an}中，an＝[lgn]，n∈N*，记Sn为数列{an}的前n项和，则S2018＝________．解析：当1≤n≤9时，an＝[lgn]＝0，当10≤n≤99时，an＝[lgn]＝1，当100≤n≤999时，an＝[lgn]＝2，当1000≤n≤2018时，an＝[lgn]＝3.故S2018＝9×0＋90×1＋900×2＋1019×3＝4947.答案：49477．(2019·长沙模拟)曲线y＝x＋lnx(n∈N*)在x＝处的切线斜率为an，若bn＝，则{bn}的前n项和Tn＝________．解析：由y′＝＋，知an＝＋＝n，所以bn＝＝＝－.因此Tn＝＋＋…＋＝1－＝.答案：8．已知数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，bn－an＝2n＋1，且Sn＋Tn＝2n＋1＋n2－2，则2Tn＝________．解析：因为Tn－Sn＝b1－a1＋b2－a2＋…＋bn－an＝2＋22＋…＋2n＋n＝2n＋1＋n－2.又Sn＋Tn＝2n＋1＋n2－2.相加，得2Tn＝2n＋2＋n2＋n－4＝2n＋2＋n(n＋1)－4.答案：2n＋2＋n(n＋1)－4三、解答题9．(2019·佛山调研)设数列{an}的前n项和为Sn，且2Sn＝3an－3.(1)求{an}的通项公式；(2)若bn＝，求数列{bn}的前n项和．解：(1)因为2Sn＝3an－3，所以2Sn－1＝3an－1－3(n≥2)，所以2an＝3an－3an－1(n≥2)，即＝3(n≥2)．因为2Sn＝3an－3，所以2S1＝3a1－3，所以a1＝3.则数列{an}是以首项为3，公比为3的等比数列，故an＝3n.(2)因为bn＝＝＝＝－，所以Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn＝＋＋…＋＝1－＝.10．(2019·成都七中联考)在数列{an}中，已知a1＝，且＝(n∈N*)．(1)求{an}的通项公式；(2)求{an}的前n项和Sn.解：(1)由＝得，＝·(n∈N*)．又a1＝，所以是以为首项、为公比的等比数列．于是＝，则an＝(n∈N*)．故{an}的通项公式为an＝(n∈N*)．(2)由Sn＝＋＋＋…＋＋，得Sn＝＋＋＋…＋＋，两式相减，得Sn＝＋＋＋…＋－＝－＝1－.于是{an}的前n项和Sn＝2－(n∈N*)．B级能力提升11．已知数列{an}的前n项和Sn＝2an－1(n∈N*)，设bn＝1＋log2an，则数列的前n项和Tn＝________．解析：因为Sn＝2an－1(n∈N*)，所以当n＝1时，a1＝1.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1，得an＝2an－1，所以an＝2n－1，从而bn＝1＋log2an＝n.故Tn＝＋＋…＋＝＋＋…＋＝.答案：12．(2019·河南百校联盟模拟)已知Sn为等差数列{an}的前n项和，a3＝5，S7＝49.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝，Tn为数列{bn}的前n项和，求证：Tn＜3.(1)解：设数列{an}的公差为d.由题设得解得所以an＝a1＋(n－1)d＝2n－1.(2)证明：由(1)知，bn＝＝，所以Tn＝＋＋＋…＋，Tn＝＋＋＋…＋＋，两式相减得Tn＝＋＋＋＋…＋－＝－－，故Tn＝3－－＝3－＜3.
