专题04三角函数的应用一、本专题要特别小心：1.图象的平移（把系数提到括号的前边后左加右减）2.图象平移要注意未知数的系数为负的情况3.图象的横坐标伸缩变换要注意是加倍还是变为几分之几4.五点作图法的步骤5.利用图象求周期6.已知图象求解析式二【学习目标】1．理解三角函数的定义域、值域和最值、奇偶性、单调性与周期性、对称性．2．会判断简单三角函数的奇偶性，会求简单三角函数的定义域、值域、最值、单调区间及周期．3．理解三角函数的对称性，并能应用它们解决一些问题．三．【方法总结】1.三角函数奇偶性的判断与其他函数奇偶性的判断步骤一致：(1)首先看定义域是否关于原点对称；(2)在满足(1)后，再看f(－x)与f(x)的关系.另外三角函数中的奇函数一般可化为y＝Asinωx或y＝Atanωx，偶函数一般可化为y＝Acosωx＋b的形式.2.三角函数的单调性(1)函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的单调区间的确定，其基本思想是把ωx＋φ看作一个整体，比如：由2kπ－≤ωx＋φ≤2kπ＋(k∈Z)解出x的范围，所得区间即为增区间.若函数y＝Asin(ωx＋φ)中A＞0，ω＜0，可用诱导公式将函数变为y＝－Asin(－ωx－φ)，则y＝Asin(－ωx－φ)的增区间为原函数的减区间，减区间为原函数的增区间.对函数y＝Acos(ωx＋φ)，y＝Atan(ωx＋φ)等单调性的讨论同上.(2)三角函数单调性的应用主要有比较三角函数值的大小，而比较三角函数值大小的一般步骤：①先判断正负；②利用奇偶性或周期性转化为属于同一单调区间上的两个同名函数；③再利用单调性比较.3.求三角函数的最值常见类型：(1)y＝Asin(ωx＋φ)＋B或y＝Atan(ωx＋φ)＋B，(2)y＝A(sinx－a)2＋B，(3)y＝a(sinx±cosx)＋bsinxcosx(其中A，B，a，b∈R，A≠0，a≠0).四．【题型方法】（一）利用三角函数测量应用例1.如图，从气球上测得正前方的河流的两岸，的俯角分别为，，此时气球的高是，则河流的宽度等于()A．B．C．D．【答案】B【解析】记点正下方为，由题意可得，，，在中，由，得到；在中，由得到，所以河流的宽度等于米.故选B练习1.习总书记在十九大报告中指出：必须树立和践行绿水青山就是金山银山的理念.某市为贯彻落实十九大精神，开展植树造林活动，拟测量某座山的高.如图，勘探队员在山脚A测得山顶B的仰角为，他沿着倾斜角为的斜坡向上走了40米后到达C，在C处测得山顶B的仰角为，则山高约为______米.（结果精确到个位，在同一铅垂面）.参考数据：.【答案】【解析】过C做CM⊥BD于M,CN⊥AD于N,设BM=h,则CM=,解得h=20(),∴BD=h+20（二）与圆有关的三角函数应用例2.如图，A，B是半径为2的圆周上的定点，P为圆周上的动点，是锐角，大小为β.图中阴影区域的面积的最大值为A．4β+4cosβB．4β+4sinβC．2β+2cosβD．2β+2sinβ【答案】B【解析】观察图象可知，当P为弧AB的中点时，阴影部分的面积S取最大值，此时∠BOP=∠AOP=π-β,面积S的最大值为+S△POB+S△POA=4β+.故选：B.练习1．如图，四边形内接于圆，若，，，则的最大值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】做于点E，，在直角三角形中，可得到根据该四边形对角互补得到在三角形ABD中，应用余弦定理得到在三角形DCB中，应用余弦定理以及重要不等式得到进而得到故答案为：C.练习2.位于潍坊滨海的“滨海之眼”摩天轮是世界上最高的无轴摩天轮，该摩天轮的直径均为124米，中间没有任何支撑，摩天轮顺时针匀速旋转一圈需要30分钟，当乘客乘坐摩天轮到达最高点时，距离地面145米，可以俯瞰白浪河全景，图中与地面垂直，垂足为点，某乘客从处进入处的观景舱，顺时针转动分钟后，第1次到达点，此时点与地面的距离为114米，则（）A．16分钟B．18分钟C．20分钟D．22分钟【答案】C【解析】根据题意，作，，如下图所示：直径为，则，所以则所以，即所以因为摩天轮顺时针匀速旋转一圈需要30分钟所以从A到B所需时间为分钟所以选C练习3.定义在封闭的平面区域内任意两点的距离的最大值称为平面区域的“直径”.已知锐角三角形的三个顶点在半径为1的圆上，且，分别以各边为直径向外作三个半圆，这三个半圆和构成平面区域，则平面区域的“直径”的最大值是__________．【答案】【解析】设三个半圆...
