第2课时简单的三角恒等变换[基础题组练]1．已知sin2α＝，则cos2等于()A.B.C.D．解析：选A.cos2＝＝＝，又sin2α＝，所以原式＝＝，故选A.2.＝()A.B.C.D．1解析：选A.＝＝＝＝.3．若tan(α＋80°)＝4sin420°，则tan(α＋20°)的值为()A．－B.C.D．解析：选D.由tan(α＋80°)＝4sin420°＝4sin60°＝2，得tan(α＋20°)＝tan[(α＋80°)－60°]＝＝＝.故选D.4．已知cos＝－，则sin－cosα＝()A．±B．－C.D．±解析：选D.sin－cosα＝sinαcos＋cosαsin－cosα＝sin，而cos＝1－2sin2＝－，则sin＝±，所以sin－cosα＝±，故选D.5．若＝·sin2θ，则sin2θ＝()A.B.C．－D．－解析：选C.由题意知＝sin2θ，所以2(cosθ＋sinθ)＝sin2θ，则4(1＋sin2θ)＝3sin22θ，因此sin2θ＝－或sin2θ＝2(舍)．6．已知cos2θ＝，则sin4θ＋cos4θ＝．解析：法一：因为cos2θ＝，所以2cos2θ－1＝，1－2sin2θ＝，因为cos2θ＝，sin2θ＝，所以sin4θ＋cos4θ＝.法二：sin4θ＋cos4θ＝(sin2θ＋cos2θ)2－sin22θ＝1－(1－cos22θ)＝1－×＝.答案：7．(2020·贵州黔东南一模改编)已知sinα＋3cosα＝－，则tan2α＝．解析：因为(sinα＋3cosα)2＝sin2α＋6sinαcosα＋9cos2α＝10(sin2α＋cos2α)，所以9sin2α－6sinαcosα＋cos2α＝0，则(3tanα－1)2＝0，即tanα＝.所以tan2α＝＝.答案：8．tan70°·cos10°(tan20°－1)等于．解析：tan70°·cos10°(tan20°－1)＝·cos10°＝·＝＝＝－1.答案：－19．已知tanα＝－，cosβ＝，α∈，β∈，求tan(α＋β)的值，并求出α＋β的值．解：由cosβ＝，β∈，得sinβ＝，tanβ＝2.所以tan(α＋β)＝＝＝1.因为α∈，β∈，所以<α＋β<，所以α＋β＝.10．已知sin＝，α∈.求：(1)cosα的值；(2)sin的值．解：(1)sin＝，即sinαcos＋cosαsin＝，化简得sinα＋cosα＝，①又sin2α＋cos2α＝1，②由①②解得cosα＝－或cosα＝，因为α∈.所以cosα＝－.(2)因为α∈，cosα＝－，所以sinα＝，则cos2α＝1－2sin2α＝－，sin2α＝2sinαcosα＝－，所以sin＝sin2αcos－cos2αsin＝－.[综合题组练]1．(2020·江西省五校协作体试题)若θ∈，且2sin2θ＋sin2θ＝－，则tan＝．解析：由2sin2θ＋sin2θ＝－，得1－cos2θ＋sin2θ＝－，得cos2θ－sin2θ＝，2cos＝，即cos＝，又θ∈，所以2θ＋∈，则tan＝，所以tan＝tan＝＝.答案：2．(2019·高考江苏卷)已知＝－，则sin的值是．解析：＝＝－，解得tanα＝2或tanα＝－，当tanα＝2时，sin2α＝＝＝，cos2α＝＝＝－，此时sin2α＋cos2α＝，同理当tanα＝－时，sin2α＝－，cos2α＝，此时sin2α＋cos2α＝，所以sin(2α＋)＝(sin2α＋cos2α)＝.答案：3．(应用型)如图，有一块以点O为圆心的半圆形空地，要在这块空地上划出一个内接矩形ABCD开辟为绿地，使其一边AD落在半圆的直径上，另两点B，C落在半圆的圆周上．已知半圆的半径长为20m，如何选择关于点O对称的点A，D的位置，可以使矩形ABCD的面积最大，最大值是多少？解：连接OB，设∠AOB＝θ，则AB＝OBsinθ＝20sinθ，OA＝OBcosθ＝20cosθ，且θ∈.因为A，D关于原点O对称，所以AD＝2OA＝40cosθ.设矩形ABCD的面积为S，则S＝AD·AB＝40cosθ·20sinθ＝400sin2θ.因为θ∈，所以当sin2θ＝1，即θ＝时，Smax＝400(m2)．此时AO＝DO＝10(m)．故当点A，D到圆心O的距离为10m时，矩形ABCD的面积最大，其最大面积是400m2.4．(综合型)已知函数f(x)＝Acos(＋)，x∈R，且f＝.(1)求A的值；(2)设α，β∈，f＝－，f＝，求cos(α＋β)的值．解：(1)因为f＝Acos＝Acos＝A＝，所以A＝2.(2)由f＝2cos(α＋＋)＝2cos＝－2sinα＝－，得sinα＝，又α∈，所以cosα＝.由f＝2cos(β－＋)＝2cosβ＝，得cosβ＝，又β∈，所以sinβ＝，所以cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝×－×＝－.
