专题十五三角函数的性质与应用考点32三角函数的奇偶性、对称性、周期性考场高招1两法(整体求解法、代入验证法)解决三角函数的对称问题解读高招方法解读适合题型典例指引整体求解法(1)求f(x)=Asin(ωx+φ)图象的对称轴,只需令ωx+φ=+kπ(k∈Z),求x.求f(x)图象的对称中心的横坐标,只需令ωx+φ=kπ(k∈Z),求x.(2)求f(x)=Acos(ωx+φ)图象的对称轴,只需令ωx+φ=kπ(k∈Z),求x.求f(x)图象的对称中心的横坐标,只需令ωx+φ=+kπ(k∈Z),求x.(3)求f(x)=Atan(ωx+φ)图象的对称中心的横坐标,只需令ωx+φ=(k∈Z)即可填空题或解答题典例导引1(1)典例导引1(2)方法一代入验证法对于函数y=Asin(ωx+φ),其对称轴一定经过图象的最高点或最低点,对称中心的横坐标一定是函数的零点,因此在判断直线x=x0或点(x0,0)是否是函数的对称轴或对称中心时,可通过检验f(x0)的值进行判断选择题典例导引1(1)方法二典例导引1(2)方法二2.典例指引1(1)(2017四川资阳一诊)函数y=sin2x-cos2x的图象的一条对称轴方程为()A.x=B.x=-C.x=D.x=-(2)下列各点中,能作为函数y=tan的图象的一个对称中心坐标的是()A.(0,0)B.C.(π,0)D.(3)(2017河北石家庄一检)若函数f(x)=sin(2x+θ)+cos(2x+θ)(0<θ<π)的图象关于对称,则函数f(x)在上的最小值是()A.-1B.-C.-D.-方法二:因为对称中心的横坐标使原函数无意义或函数值为0,所以当x=0时,y=tan≠0,(0,0)不是对称中心;当x=时,y=tan≠0,不是对称中心;当x=π时,y=tan≠0,(π,0)不是对称中心,当x=时,y=tan,无意义,是对称中心,故选D.(3)因为f(x)=sin(2x+θ)+cos(2x+θ)=2sin,则由题意知f=2sin=0,又0<θ<π,所以θ=,则f(x)=-2sin2x,且在上是减函数,所以函数f(x)在的最小值为f=-2sin=-,故选B.【答案】(1)B(2)D(3)B3.亲临考场1.(2017课标Ⅲ,理6)设函数f(x)=cos,则下列结论错误的是()A.f(x)的一个周期为-2πB.y=f(x)的图象关于直线x=对称C.f(x+π)的一个零点为x=D.f(x)在单调递减【答案】D由f(x)=cos的解析式知-2π是它的一个周期,故A正确;将x=代入f(x)=cos,得f=-1,故y=f(x)的图象关于直线x=对称,故B正确;f(x+π)=cos,当x=时,f(x+π)=cos=0,故C正确;当x∈时,x+,显然f(x)先单调递减再单调递增,故D错误.2.(2016课标Ⅱ,理7)若将函数y=2sin2x的图象向左平移个单位长度,则平移后图象的对称轴为()A.x=(k∈Z)B.x=(k∈Z)C.x=(k∈Z)D.x=(k∈Z)考场高招2由三角函数的奇偶性、周期性、对称性求参数的解题规律1.解读高招步骤解读第一步:三角化简利用三角公式将函数的解析式写成Asin(ωx+φ)+b或Acos(ωx+φ)+b或Atan(ωx+φ)+b的形式第二步:借助性质抓住题设需要满足的条件,充分利用三角函数性质,借助公式、区间范围关系等将参数表示出来第三步:求解参数得到含有参数的等式或不等式求解2.典例指引2(1)如果函数y=3cos(2x+φ)的图象关于点中心对称,那么|φ|的最小值为()A.B.C.D.(2)将函数y=sin(2x+φ)(φ>0)的图象沿x轴向左平移个单位长度后,得到一个偶函数的图象,则φ的最小值为()A.B.C.D.【解析】(1) y=3cos(2x+φ)的图象关于点对称,即3cos=0,∴+φ=+kπ,k∈Z,∴φ=-+kπ,∴当k=2时,|φ|有最小值.(2)将函数y=sin(2x+φ)(φ>0)的图象沿x轴向左平移个单位长度后,得到一个偶函数y=sin=sin的图象,则由+φ=kπ+(k∈Z),得φ=kπ+(k∈Z),所以φ的最小值为,故选C.【答案】(1)A(2)C3.亲临考场1.已知函数y＝sinωx(ω>0)在区间上为增函数，且图象关于点(3π，0)对称，则ω的取值集合为()A.B.C.D.2．已知函数f(x)＝cos，其中x∈m∈R且m>，若f(x)的值域是，则m的最大值是________．【答案】由x∈，可知≤3x＋≤3m＋， f＝cos＝－，且f＝cosπ＝－1，∴要使f(x)的值域是，需要π≤3m＋≤，解得≤m≤，即m的最大值是.考点33三角函数的单调性与最值考场高招3求解三角函数单调性的方法1.解读高招方法解读适合题型典例指引整体代入法将ωx+φ(ω>0)看作一个整体,代入三角函数的单调区间解x的取值范围,即为所求y=sin(ωx+φ)(ω>0)y=cos(ωx+φ)(ω>0)y=tan(ωx+φ)(ω>0)典例导引3(1)同增异减法对于复合函数单调区间的确定,应明确:对复合过程中的每一个函数而言,同增或同减则为增,一增一减则为减,即同增异减y=f(-ωx+φ)(...
