§4.3三角函数的最值与综合应用考纲解读考点内容解读要求高考示例常考题型预测热度1.三角函数的最值①了解三角函数的最值(值域);②理解三角函数取最值的条件理解2017课标全国Ⅱ,14;2017江苏,16;2015陕西,3选择题填空题解答题★★★2.三角函数的图象和性质的综合应用结合三角函数的性质,会求形如函数y=Asin(ωx+φ)(A≠0,ω>0)的综合问题掌握2015安徽,10;2014四川,16选择题填空题解答题★★★分析解读1.求三角函数最值时,一般要进行一些代数变换和三角变换,要注意函数有意义的条件及正、余弦函数的有界性.2.借助辅助角公式将函数y=asinωx+bcosωx化为y=sin(ωx+φ)的形式,求最值是高考热点.3.本节在高考中分值为5分或12分,属于中低档题.五年高考考点一三角函数的最值1.(2016课标全国Ⅰ,12,5分)已知函数f(x)=sin(ωx+φ),x=-为f(x)的零点,x=为y=f(x)图象的对称轴,且f(x)在单调,则ω的最大值为()A.11B.9C.7D.5答案B2.(2015陕西,3,5分)如图,某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y=3sin+k,据此函数可知,这段时间水深(单位:m)的最大值为()A.5B.6C.8D.10答案C3.(2017课标全国Ⅱ,14,5分)函数f(x)=sin2x+cosx-的最大值是.答案14.(2017江苏,16,14分)已知向量a=(cosx,sinx),b=(3,-),x∈[0,π].(1)若a∥b,求x的值;(2)记f(x)=a·b,求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值.解析(1)因为a=(cosx,sinx),b=(3,-),a∥b,所以-cosx=3sinx.若cosx=0,则sinx=0,与sin2x+cos2x=1矛盾,故cosx≠0.于是tanx=-.又x∈[0,π],所以x=.(2)f(x)=a·b=(cosx,sinx)·(3,-)=3cosx-sinx=2cos.因为x∈[0,π],所以x+∈,从而-1≤cos≤.于是,当x+=,即x=0时,f(x)取到最大值3;当x+=π,即x=时,f(x)取到最小值-2.教师用书专用(5—8)5.(2015天津,15,13分)已知函数f(x)=sin2x-sin2,x∈R.(1)求f(x)的最小正周期;(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值.解析(1)由已知,有f(x)=-=-cos2x=sin2x-cos2x=sin.所以,f(x)的最小正周期T==π.(2)因为f(x)在区间上是减函数,在区间上是增函数,f=-,f=-,f=.所以,f(x)在区间上的最大值为,最小值为-.6.(2015北京,15,13分)已知函数f(x)=sincos-sin2.(1)求f(x)的最小正周期;(2)求f(x)在区间[-π,0]上的最小值.解析(1)因为f(x)=sinx-(1-cosx)=sin-,所以f(x)的最小正周期为2π.(2)因为-π≤x≤0,所以-≤x+≤.当x+=-,即x=-时,f(x)取得最小值.所以f(x)在区间[-π,0]上的最小值为f=-1-.7.(2013辽宁,17,12分)设向量a=(sinx,sinx),b=(cosx,sinx),x∈.(1)若|a|=|b|,求x的值;(2)设函数f(x)=a·b,求f(x)的最大值.解析(1)由|a|2=(sinx)2+(sinx)2=4sin2x,|b|2=(cosx)2+(sinx)2=1及|a|=|b|,得4sin2x=1.又x∈,从而sinx=,所以x=.(6分)(2)f(x)=a·b=sinx·cosx+sin2x=sin2x-cos2x+=sin+,当x=∈时,sin取最大值1.所以f(x)的最大值为.(12分)8.(2013陕西,16,12分)已知向量a=,b=(sinx,cos2x),x∈R,设函数f(x)=a·b.(1)求f(x)的最小正周期;(2)求f(x)在上的最大值和最小值.解析f(x)=·(sinx,cos2x)=cosxsinx-cos2x=sin2x-cos2x=cossin2x-sincos2x=sin.(1)f(x)的最小正周期为T===π,即函数f(x)的最小正周期为π.(2) 0≤x≤,∴-≤2x-≤.由正弦函数的性质,当2x-=,即x=时,f(x)取得最大值1.当2x-=-,即x=0时,f(0)=-,当2x-=π,即x=时,f=,∴f(x)的最小值为-.因此,f(x)在上的最大值是1,最小值是-.考点二三角函数的图象和性质的综合应用1.(2015安徽,10,5分)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ均为正的常数)的最小正周期为π,当x=时,函数f(x)取得最小值,则下列结论正确的是()A.f(2)
